problem

BARCA · 1392/5/3

p و q دو عدد فرد متوالی هستند. ثابت کنید

$p+q\mid p^{q}+q^{p}$

.

Mostafa_ · 1392/5/4

پاسخ : problem

BARCA گفت

اگر فرض کنیم

$q>p$

چون که

$p$

و

$q$

دو عدد فرد متوالی اند، داریم:

$q=p+2$

از طرفه دیگه هم داریم:

$p^q+q^p=p^{p+2}-p^q+p^q+q^p$

خوب حالا چون

$p$

و

$q$

فرد هستند بنا به حالت کلی اتحاد چاق و لاغر داریم :

$p+q|p^p+q^p$

از طرفی:

$p^{p+2}-p^p=p^p(p^2-1)=p(p-1)(p+1)$

چون

$(p-1)$

زوجه،

$p^{p+2}-p^p$

بر

$2(p+1)$

پخش پذیره... اما داریم:

$2(p+1)=p+p+2=p+q$

پس

$p+q|p^{p+2}-p^p$

و قبلا هم که داشتیم

$p+q|p^p+q^p$

... با جمع کردن این دو تا رابطه به دست میاد

$p+q\mid p^{q}+q^{p}$

در ضمن اسم تاپیکتون رو هم اگه یه چیز درست تری میذاشتید بهتر بود

khalina · 1392/5/4

پاسخ : problem

عنوان نامناسب! بسته شد.