Sum {1/sqrt{a^3+2b^3+6}}<=1

M_Sharifi · 1389/2/19

یه سوال:
فرض کنید

$a,b,c$

اعدادی مثبت با حاصل ضرب 1 اند. نشان دهید

[center:c51eca44ac]

$\sum_{\textbf{cyc}}\frac1{\sqrt{a^3+2b^3+6}}\leq1$

[/center:c51eca44ac]

mahanmath · 1391/4/31

پاسخ : Sum {1/sqrt{a^3+2b^3+6}}<=1

$\sum_{cyc}^{ } \frac{1}{\sqrt{\underbrace{a^3 + b^3 + b^3}_{AM-GM} + 6}} \leq \sum_{cyc}^{ }\frac{1}{\sqrt{3ab^2 +6}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \sum_{cyc}^{ }\frac{1}{\sqrt{\underbrace{\frac{b}{c}}_{x} +2}}$

پس کافیه ثابت کنیم :

$xyz=1 \Rightarrow \sum_{x,y,z}^{ }\frac{1}{\sqrt{x+2}} \leq \sqrt{3}$

$\left (\sum_{x,y,z}^{ }\frac{1}{\sqrt{x+2}} \right )^2 \leq (1+1+1)(\sum_{x,y,z}^{ }\frac{1}{{x+2}}) \\ 1- \sum_{x,y,z}^{ }\frac{1}{{x+2}} = \frac{xy+yz+zx -3}{(x+2)(y+2)(z+2)} \geq 0 \; \; \; \; (xyz=1)$

Sum {1/sqrt{a^3+2b^3+6}}<=1

M_Sharifi

راهبر ریاضی

mahanmath

New Member