vasile inequality

mousavi · 1389/8/1

a,b,c اعدادی غیر منفی هستند به طوریکه دو تای انها همزمان صفر نیست.
ثابت کنید:

$\sqrt{\frac{a(b+c)}{a^2+bc}}+\sqrt{\frac{b(a+c)}{b^2+ac}}+\sqrt{\frac{c(a+b)}{c^2+ab}}\geq 2$

M_Sharifi · 1389/8/8

سوال جالبی بود!
طبق نابرابری هولدر و بعد نابرابری میانگین حسابی-هندسی داریم:
[center:b4dd065da9]

$\left$\sum\sqrt{\frac{a(b+c)}{a^2+bc}} \right$^2\geq\frac{\left$\sum a(b+c)^2) \right$^3}{\sum a^2(b+c)^5(a^2+bc)}=\frac{\left$\sum a(b+c)^2) \right$^3}{a(b+c)^4(ab+ac)(a^2+bc)}\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\geq\frac{4\left$\sum a(b+c)^2) \right$^3}{\sum a(b+c)^4(a+b)^2(a+c)^2}\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=\frac{4\left$\sum a(b+c)^2\right$^3}{(a+b)^2(b+c)^2(c+a)^2\sum a(b+c)^2}\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=\left(\frac{2\sum a(b+c)^2}{(a+b)(b+c)(c+a)}\right)^2\geq4$

[/center:b4dd065da9]

mahanmath · 1389/8/8

Only AM-GM

:

$\sum \sqrt{\frac{a(b+c)}{a^2 +bc}} = \sum \frac{a(b+c)}{\sqrt{(a^2+bc)(ab+ac)}} \geq \sum \frac{2a(b+c)}{(a+b)(a+c)}$

vasile inequality

mousavi

New Member

M_Sharifi

راهبر ریاضی

mahanmath

New Member