x^4 + 4^x = p

[abdi]

اگر

عددي اول باشد، تعداد جواب‌هاي معادله‌ي

را در مجموعه‌ي اعداد طبيعي بيابيد.

 

[Olympiad]

براي اينكه

عددي اول باشد (به غير از 2) بديهي است كه

بايد فرد باشد. حال ما دو طرف تساوي را به پيمانه ي 5 در نظر مي گيريم. ميدانيم كه

اما چون

عددي فرد مي باشد ، فقط

و همچنين چون

عددي فرد است ميدانيم:

بنابراين بر 5 بخشپذير مي شود.
پس

فقط عدد 5 مي تواند باشد كه آن هم به ازاي

مي باشد.

 

[shoki]

از اتحاد Sophie Germain هم می تونستید استفاده کنید.

 

[abdi]

فكر كنم با تغيير متغير x=2k+1 و تجزيه هم بشه حلش كرد.

 

[mohammad2004]

آقای olympiad وقتی x فرده چه دلیلی داره به 5 بخشپذیر نباشه؟؟ یعنی من میگم تساوی (x^4 = 1 (mod5 ممکنه غلط باشه.

 

[mohammad2004]

راستی shoki
Sophie Germain چیه؟؟

 

[mahanmath]

 

[Olympiad]

آقای olympiad وقتی x فرده چه دلیلی داره به 5 بخشپذیر نباشه؟؟ یعنی من میگم تساوی (x^4 = 1 (mod5 ممکنه غلط باشه.

براي x فرض كنيد كه هر بار باقيمانده هاي 0,1,2,3,4 را به 5 داشته باشد و سپس آن x^4 را به پيمانه ي 5 در نظر بگيريد ،آنگاه متوجه خواهيد شد....

 

[M_Sharifi]

اما چون

عددي فرد مي باشد ، فقط

 

[counterexample]

براي اينكه

عددي اول باشد (به غير از 2) بديهي است كه

بايد فرد باشد. حال ما دو طرف تساوي را به پيمانه ي 5 در نظر مي گيريم. ميدانيم كه

اما چون

عددي فرد* مي باشد ، فقط

و همچنين چون

عددي فرد است ميدانيم:

بنابراين بر 5 بخشپذير مي شود.
پس

فقط عدد 5 مي تواند باشد كه آن هم به ازاي

مي باشد.

*عدد اول به غیر از 5 (زیرا بقیه اعدادی که یکانشان 5 است بر 5 بخشپذیر بوده و اول نیستند)

نکته ای که هیچکس به آن توجه نکرد:

پس چنین عددی وجود ندارد.

 

[Olympiad]

براي اينكه

عددي اول باشد (به غير از 2) بديهي است كه

بايد فرد باشد. حال ما دو طرف تساوي را به پيمانه ي 5 در نظر مي گيريم. ميدانيم كه

اما چون

عددي فرد* مي باشد ، فقط

و همچنين چون

عددي فرد است ميدانيم:

بنابراين بر 5 بخشپذير مي شود.
پس

فقط عدد 5 مي تواند باشد كه آن هم به ازاي

مي باشد.

*عدد اول به غیر از 5 (زیرا بقیه اعدادی که یکانشان 5 است بر 5 بخشپذیر بوده و اول نیستند)

نکته ای که هیچکس به آن توجه نکرد:

پس چنین عددی وجود ندارد.

آقاي شريفي درست ميگن ..... منظورشون اين بود كه x بر 5 بخشپذير باشه (x=5k ) ولي اگر در معادله قرار دهيم ، معلوم ميشود كه k=2t+1 ... بنابراين x=10t+5 كه بايد اين حالت هم محاسبه شود....

 

[counterexample]

براي اينكه

عددي اول باشد (به غير از 2) بديهي است كه

بايد فرد باشد. حال ما دو طرف تساوي را به پيمانه ي 5 در نظر مي گيريم. ميدانيم كه

اما چون

عددي فرد* مي باشد ، فقط

و همچنين چون

عددي فرد است ميدانيم:

بنابراين بر 5 بخشپذير مي شود.
پس

فقط عدد 5 مي تواند باشد كه آن هم به ازاي

مي باشد.

*عدد اول به غیر از 5 (زیرا بقیه اعدادی که یکانشان 5 است بر 5 بخشپذیر بوده و اول نیستند)

نکته ای که هیچکس به آن توجه نکرد:

پس چنین عددی وجود ندارد.

آقاي شريفي درست ميگن ..... منظورشون اين بود كه x بر 5 بخشپذير باشه (x=5k ) ولي اگر در معادله قرار دهيم ، معلوم ميشود كه k=2t+1 ... بنابراين x=10k+1 كه بايد اين حالت هم محاسبه شود....

خوب منم حرف تو رو درست کردم، یعنی الآن سؤال حل نشد؟!

 

[Olympiad]

براي اينكه

عددي اول باشد (به غير از 2) بديهي است كه

بايد فرد باشد. حال ما دو طرف تساوي را به پيمانه ي 5 در نظر مي گيريم. ميدانيم كه

اما چون

عددي فرد* مي باشد ، فقط

و همچنين چون

عددي فرد است ميدانيم:

بنابراين بر 5 بخشپذير مي شود.
پس

فقط عدد 5 مي تواند باشد كه آن هم به ازاي

مي باشد.

*عدد اول به غیر از 5 (زیرا بقیه اعدادی که یکانشان 5 است بر 5 بخشپذیر بوده و اول نیستند)

نکته ای که هیچکس به آن توجه نکرد:

پس چنین عددی وجود ندارد.

آقاي شريفي درست ميگن ..... منظورشون اين بود كه x بر 5 بخشپذير باشه (x=5k ) ولي اگر در معادله قرار دهيم ، معلوم ميشود كه k=2t+1 ... بنابراين x=10t+5 كه بايد اين حالت هم محاسبه شود....

خوب منم حرف تو رو درست کردم، یعنی الآن سؤال حل نشد؟!

كامل حل نشد......
يعني حالتي كه x بر 5 بخشپذير است (x=10t+5)