x^4+px^2+q=0

rezashiri · 1389/9/7

اگر ریشه های معادله

$x^4+px^2+q=0$

تشکیل تصاعد عددی بدهند چه رابطه ای میان p,q وجود دارد؟

rezashiri · 1389/9/7

کسی اینو حل نکرد؟

AidinT · 1389/9/8

معادله رو به صورت زیر می نویسیم:

$(x^2)^2 + p(x^2) + q = 0$

می شه گفت که این معادله حداکثر چهار جواب داره. با توجه با "تصاعد عددی" این معادله 3 یا چهار جواب باید داشته باشه. می دونیم که اگه این معادله ریشه ای مثل

$\alpha$

داشته باشه(

$x^2 = \alpha^2$

) در این صورت ریشه ی

$-\alpha$

رو هم خواهد داشت. پس تعداد ریشه ها زوجه! مگر اینکه یکی از ریشه ها 0 باشه.
دو حالت زیر رو بررسی می کنیم:

1- یکی از ریشه های 0 باشد:
در این صورت اگه ریشه ی دوم x^2 ،

$\alpha$

باشد داریم:

$-\sqrt\alpha\; , \;0\; ,\; \sqrt\alpha$

تشکیل یک تصاعد عددی را می دهد(کاملاً بدیهی)
حالا می دونیم که در معادله ی درجه ی دو

$\frac{c}{a} = \alpha\beta$

که در اون c و a به ترتیب ضرایب x^2 و x^0 هستند و آلفا و بتا ریشه های معادله
داریم

$\frac{c}{a} = q = \alpha\beta = \alpha * 0 = 0$

و از طرفی چون p برابر قرینه ی مجموع دو ریشه هست پس می تونه هر مقدار منفی ای باشه(چون آلفا می تونه هر مقدار مثبتی باشه)
پس در این حالت

$\left.\begin{matrix} q = 0\\ p \in \mathbb{R}\leq 0 \end{matrix}\right\}$

2- هیچ کدام از ریشه ها 0 نباشند:

در این صورت اگر دو ریشه ی x^2 را با آلفا و بتا نمایش دهیم(

$\alpha > \beta > 0$

) پس :

$-\sqrt\alpha , -\sqrt\beta ,\sqrt\beta , \sqrt\alpha$

باید یک تصاعد عددی را تشکیل دهد. پس

$\sqrt\alpha = 3\sqrt\beta$

پس

$\alpha = 9\beta$

حالا داریم:

$p = -(\alpha + \beta) = - (10\beta)$

و

$q = \alpha * \beta = 9\beta^2$

پس در این حالت داریم:

$\left.\begin{matrix} \theta > 0\\ p = -10\theta\\ q = 9\theta \end{matrix}\right\}$

پس دو حالت کلی برای p و q یافتیم

$\left.\begin{matrix} q = 0\\ p \in \mathbb{R}\leq 0 \end{matrix}\right\}$

$\left.\begin{matrix} \theta > 0\\ p = -10\theta\\ q = 9\theta \end{matrix}\right\}$

و مسأله حل رفت

x^4+px^2+q=0

rezashiri

Well-Known Member

rezashiri

Well-Known Member

AidinT

New Member