x+y+z=0

farid_frd · 1389/1/16

تمام جوابهای حقیقی دستگاه

$\begin{cases} & \ x+y+z=0 \\ & \ x^{3}+y^{3}+z^{3}=18 \\ & \ x^{7}+y^{7}+z^{7}=2058 \end{cases}$

را بیابید .

farid_frd · 1389/1/16

با ایده ای که واسه این سوال وجود داره ( که خیلی هم ساده است ) میشه بسیاری از مسائل این ریختی که فرضش هست مجموع سه عدد صفره رو حل کرد

farid_frd · 1389/1/17

خیلی هم سخت نیست

rezashiri · 1389/3/6

من واسط اینارو بدست آوردم حالا خودت همهی x,y,z هارو پیدا کن.

$\left\{\begin{matrix} xy+yz+zx=-7\\ x+y+z=0\\ x^{2}+y^{2}+z^{2}=14\\ x^{3}+y^{3}+z^{3}=18\\ x^{4}+y^{4}+z^{4}=98\\ x^{5}+y^{5}+z^{5}=210\\ x^{6}+y^{6}+z^{6}=794\\ x^{7}+y^{7}+z^{7}=2048\\ .\\ .\\ .\\ \end{matrix}\right.$

farid_frd · 1389/3/6

جواب میشه

$(-1,-2,3)$

:
ثابت میشه که :

$x^{7}+y^{7}+z^{7}=7xyz(xy-z^{2})^{2}=7xyz(yz-x^{2})^{2}=7xyz(zx-y^{2})^{2}$

و چون

$xyz=6$

پس

$xy-z^{2}=\pm 7,yz-x^{2}=\pm 7,zx-y^{2}=\pm 7$

که مثبت هاش قابل قبول نیست پس

$xy+yz+zx=-7$

در نتیجه

$x,y,z$

ریشه های

$t^{3}-7t-6=0$

farid_frd · 1389/3/6

البته راههای دیگه ای هم داره

rezashiri · 1389/3/6

farid_frd گفت

میشه بگی اینو چطوری بدست آوردی.!؟

farid_frd · 1389/3/6

طبق قضیه ویت اگر

$\alpha ,\beta ,\gamma$

ریشه های

$p(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$

باشند می توان

$p(x)$

را به این صورت نوشت :

$p(x)=x^{3}-(\alpha +\beta +\gamma )x^{2}+(\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha )x-\alpha \beta \gamma$

پس اگر

$x,y,z$

را ریشه های

$p(t)$

در نظر بگیریم چون

$x+y+z=0$

و

$xy+yz+zx=-7$

و

$xyz=6$

,

$p(t)=t^{3}-7t-6$

rezashiri · 1389/3/6

راه حل من برای رسیدن به

$xy+yz+zx=-7$

استفاده از اتحاد زیر است:

[center:7f731b1262]

$~~~~~x^n+y^n+z^n=(x+y+z)(x^{n-1}+y^{n-1}+z^{n-1})\\ -(xy+yz+zx)(x^{n-2}+y^{n-2}+z^{n-2})+xyz(x^{n-3}+y^{n-3}+z^{n-3})$

[/center:7f731b1262]

farid_frd · 1389/3/7

توی حلم یه اشکال کوچیک وجود داشت که اصلاح شد ( توان 2 ها رو یادم رفته بود بذارم )

x+y+z=0

farid_frd

New Member

farid_frd

New Member

farid_frd

New Member

rezashiri

Well-Known Member

farid_frd

New Member

farid_frd

New Member

rezashiri

Well-Known Member

farid_frd

New Member

rezashiri

Well-Known Member

farid_frd

New Member