x_1+x_2+...+x_n)(1/x_1+1/x_2+...+1/x_n)<n^2+1

M_Sharifi · 1389/2/20

یه سوال:
فرض کنید

$x_1,x_2,\ldots,x_n$

اعدادی حقیقی و مثبت اند که در رابطه ی

[center:28d97d15d0]

$(x_1+x_2+\cdots+x_n)\left(\frac1{x_1}+\frac1{x_2}+\cdots+\frac1{x_n}\right)<n^2+1$

[/center:28d97d15d0]
صدق می کنند. نشان دهید هر سه تا از

$x_i,x_j,x_k$

اعداد طول اضلاع یک مثلث می توانند باشند.

نتیجه ی قوی تر: حکم بالا را با تبدیل

$n^2+1$

به جای

$(n-3+\sqrt{10})^2$

اثبات کنید.

mahanmath · 1389/2/20

راهنمایی

استقرا

shoki · 1389/2/21

فقط کافیه همون سه تایی که نمی شه باهاشون مثلث ساخت رو در نظر گرفت تا به تناقض رسید ( البته برای قسمت الف این طوریه

)