کاربرد قضیه پروانه در هندسه

[zz_torna2]

در تاپیک سوالاتی در هندسه که با قضیه پروانه اثبات میشنو بررسی میکنیم .قبل از هر چیز قضیه پروانه رو بیان میکنم و به عنوان اولین سوال شما این قضیه رو اثبات کنین:

قضیه پروانه:( صورت سوال 68 از تمرینات بدون حل کتاب احمدپور)

دو نقطه a و b بر دایره ای مفروض اند. دو وتر cd , ef از نقطه m وسط وتر ab میگذرند.( c , e در یک طرف ab قرار دارند ). دو خط cf ,de خط ab را در نقاط pو q قطع میکنند. ثابت کنید نقاط p, q از m به یک فاصله اند.

 

[sahadian]

پاسخ : کاربرد قضیه پروانه در هندسه

من چندتا اثبات دیدم ولی قشنگ ترینش رو اقای شکریان بم گفت با استفاده از تقسیم همساز بود

 

[MBGO]

پاسخ : کاربرد قضیه پروانه در هندسه

بدون همساز هم حل میشه، کافیه دو نسبت بنویسیم که در پی تساوی بودن اون دو حکم اثبات میشه. اون دو نسبت هم با روابط سینوسی و استفاده ازاون نقطه وسط وتر اثبات میشه.(در حقیقت همون همسازه که من بدون خبر داشتن ازش استفاد کردم.)
راه دوم هم استفاده از قطب و قطبیه.

اثبات های دیگه ای هم هست اما اینی که الان میگم از همشون(به نظرم) قشنگتره.
مرکز دایره رو در نظر بگیرید،از اون بر ab,cd,ef عمود می کنیم، واضحه که پای عمود ها اوساط اون وتر ها هستن. حالا با توجه به تشابه fcm,dme و استفاده از چهار ضلعی های محاطی که ساختیم، ثابت کنید زوایای pod ,qod برابرند که مستقیما حکم رو نتیجه میدن.(این هم از اثبات فقط با تشابه و چهارضلعث محاطی)

 

[sahadian]

پاسخ : کاربرد قضیه پروانه در هندسه

بله اقای بابلیان ولی به همون دو نسبتی که گفتید میگن همساز دیگه اینجوریه که نسبت همسازی پاره خط رو مینویسی بعد به سینوس تبدیلش میکنی بعد زوایای بدست امده را به وسیله چهارضلعی های محاطی درون شکل تغیر میدهید برای رابطه ی سینوسی جدید یک نسبت همساز به طور مجدد به دست می اید که با قراردادن این دو در مقابل هم مساله حل میشود

 

[MBGO]

پاسخ : کاربرد قضیه پروانه در هندسه

یه نتیجه دیگه :

اگه یکی از بال های پروانه رو قرینه کنید اونور هم باز حکم برقراره.

در حقیقت اون یه نقطه با هم همخط میشن.(سعی کنید ببینید بازم به نتیجه دیگه می رسید یا نه)

 

[Aref]

پاسخ : کاربرد قضیه پروانه در هندسه

من چندتا اثبات دیدم ولی قشنگ ترینش رو اقای شکریان بم گفت با استفاده از تقسیم همساز بود

در اینجا سینوسی و ناهمساز یکی اند. همساز هم همونه منتها حکم رو برده اونورتر(اثبات با همساز توی فصل 7 خوشخوان هست.)
یه راه حل با قرینه کردن و پاسکال وجود داره.
اون راه حل تشابه هم که دوستان گفتن.
قضیه برای حالت هایی که وتر توی دایره نیست و چند جور عکس هم داره. مثلا یه حالت هایی به ما مماس به دایره میده و اینا.
کلا قضیه ی کم کاربردیه. من فقط چند تا کاربرد درست و حسابی ازش دیدم.

 

[mehrdad1st]

پاسخ : کاربرد قضیه پروانه در هندسه

تصمیم گرفتم این تاپیکو ادامه بدیم(اگه همکاری کنین)

یک نتیجه زیبا از قضیه پروانه :
فرض کنید

دایره ای با مرکز

باشد و نقاط

چهار نقطه روی این دایره باشند و

خطی دلخواه باشد و

تصویر مرکز دایره روی این خط باشد و خط

اضلاع

را به ترتیب در نقاط

قطع کند در این صورت داریم:
نقطه ی

وسط پاره خط های

قرار دارد.
شماهم اگه چیزی دارید دریغ نکنید:99: