چندجمله ای دو متغیره

ash1374 · 1391/6/5

$\varphi (x,y)$

یک چند جمله ای با ضرایب گویاست. فرض کنید

$\alpha ,\beta$

اعداد جبری باشند و داریم

$\varphi (\alpha ,\beta )=0$

. ثابت کنید برای هر

$\alpha _{i}$

مزدوج با

$\alpha$

،وجود دارد

$\beta _{j}$

مزدوج با

$\beta$

به گونه ای که

$\varphi (\alpha _{i},\beta _{j})=0$

. ( منظور از مزدوج های

$\alpha$

ریشه های چند جمله ای مینیمال آن هستند.)

Aref · 1391/6/5

پاسخ : چندجمله ای دو متغیره

ash1374 گفت

فرض کنید چند جمله ای مینیمال

$\beta$

،‌

$f(x)=a_nx^n+\dots +a_0=a_n\prod_{i=1}^{n}(x-\beta_i)$

باشد. در این صورت به وضوح

$g(x)=\prod_{i=1}^{n}\varphi(x,\beta_i)\in \mathbb Q[x]$

.

بنابراین چون

$g(\alpha)=0$

پس

$\forall 1\le i\le n: g(\alpha_i)=0$

.

$\square$