چند سوال مقدماتی هندسه ترکیبیاتی

Yousefi

Well-Known Member
ارسال ها
432
لایک ها
602
امتیاز
93
#1
تاپیک های مشابه این زدم تا کمی هم سوال حل کنیم! این هم از قسمت هندسه ی ترکیبیاتی، البته اینم مقدماتیه اما خب کلا هندسه ترکیبیاتی توی دسته ی ترکیبیات پیشرفته قرار می گیره!

اینجا هم یکسری سوال می خوام قرار بدم که به ترتیب آسون به سختن و هر سوال رو حل کنید سوال سخت تر میشه
سوال اول اینه : ثابت کنید دو نقطه همرنگ به فاصله ی 1 در صفحه وجود دارد، به طوری که:

الف) صفحه را با 2 رنگ سیاه و سفید رنگ کرده باشیم؛
ب) صفحه را با 3 رنگ قرمز و آبی و سبز زنگ کرده باشیم.
 
ارسال ها
337
لایک ها
82
امتیاز
0
#2
پاسخ : چند سوال مقدماتی هندسه ترکیبیاتی

الف - برهان خلف فرض کنیم وجود نداشته باشه در اون صورت یه مثلث متساوی الاضلاع به ضلع یک میسازیم خوب حالا یه راس اون مثلا سیاهه اگه بخوایم دو راس همرنگ نداشته باشیم باید دوتاشون سفید باشن که خلاف فرضه پس حتما وجود داره
ب - شکل به یه هرم تغییر بدید بازم به همین استدلال عمل کنین
 
آخرین ویرایش توسط مدیر

Yousefi

Well-Known Member
ارسال ها
432
لایک ها
602
امتیاز
93
#3
پاسخ : چند سوال مقدماتی هندسه ترکیبیاتی

الف - برهان خلف فرض کنیم وجود نداشته باشه در اون صورت یه مثلث متساوی الاضلاع به ضلع یک میسازیم خوب حالا یه راس اون مثلا سیاهه اگه بخوایم دو راس همرنگ نداشته باشیم باید دوتاشون سفید باشن که خلاف فرضه پس حتما وجود داره
ب - شکل به یه هرم تغییر بدید بازم به همین استدلال عمل کنین

ب اشتباهه، صفحه رو با سه رنگ رنگ کردیم نه فضا!
 

mamadsmart

New Member
ارسال ها
41
لایک ها
16
امتیاز
0
#4
پاسخ : چند سوال مقدماتی هندسه ترکیبیاتی

اینم یه سوال دیگه ولی از نوع سخت ترش :
ثابت کنید در بین هر n نقطه در صفحه مجموعه ای شامل حداقل رادیکال n نقطه وجود دارد که هیچ سه تایی از آنها راس های یک مثلث متساوی الاضلاع نیستند.
 
ارسال ها
337
لایک ها
82
امتیاز
0
#5
پاسخ : چند سوال مقدماتی هندسه ترکیبیاتی

به نظر من بذارید یکی یکی جلو بریم فعلا که فرمودند سوال اول ب غلطه بدارید حل بشه بعد سوال جدید بدید
 
ارسال ها
337
لایک ها
82
امتیاز
0
#6
پاسخ : چند سوال مقدماتی هندسه ترکیبیاتی

فکر کنم این دیگه درست باشه یه مثلث متشاوی الاضلاع بگیرید نیمسازاش رسم کنید نقطه ی برخورد از سه راس به یه فاصله است خوب حالا دیگه با توجه به زاویه ها و سینوس کاری کنیم تا این فاصله یک بشه حالا چهار نقطه داریم سه رنگ
 

Yousefi

Well-Known Member
ارسال ها
432
لایک ها
602
امتیاز
93
#7
پاسخ : چند سوال مقدماتی هندسه ترکیبیاتی

سلام، هنوز می خوام یکم لانه کبوتری توی هندسه ترکیبیاتی کار کنیم، شما هم توی آخرین حلت که البته چیزی هم ننوشتی بیل زدی در واقع! خیلی ساده تر از این ها حل میشه، چون خوبه فکر کنید بهتون زمان می دم!فعلا نه میخوام برم روی فضا نه با nرنگ، فعلا همین ها رو حل کنید، اسم تاپیک رو خوبه بخونید! مسائل مقدماتی!
 

Aref

New Member
ارسال ها
1,262
لایک ها
1,008
امتیاز
0
#8
پاسخ : چند سوال مقدماتی هندسه ترکیبیاتی

اینم یه سوال دیگه ولی از نوع سخت ترش :
ثابت کنید در بین هر n نقطه در صفحه مجموعه ای شامل حداقل رادیکال n نقطه وجود دارد که هیچ سه تایی از آنها راس های یک مثلث متساوی الاضلاع نیستند.
دو تا راه حل داره. یکی از قضیه ی اردوش ژکرس استفاده می کنه و تو اون یکی یه مجموعه ی ماکسیمال بدون مثلث متساوی الاضلاع می گیریم و دوگونه شماری می کنیم.
 

Aref

New Member
ارسال ها
1,262
لایک ها
1,008
امتیاز
0
#9
پاسخ : چند سوال مقدماتی هندسه ترکیبیاتی

اون یکی هم حالت خاص قضیه ی گالای ویت هستش، در فضا هم همچین چیزی داریم. به طور کلی در فضای d بعدی هم همچین چیزی درسته. یعنی مثلا در هر r رنگ آمیزی از فضا یه هرم تکرنگ وجود داره.
 
ارسال ها
337
لایک ها
82
امتیاز
0
#10
پاسخ : چند سوال مقدماتی هندسه ترکیبیاتی

منظورتون چیه یعنی ایده مثلثه هم غلط بود خب پس دیگه لطفا حلش بذارید ببینیم چی میشه ؟
 

Yousefi

Well-Known Member
ارسال ها
432
لایک ها
602
امتیاز
93
#11
پاسخ : چند سوال مقدماتی هندسه ترکیبیاتی

منظورتون چیه یعنی ایده مثلثه هم غلط بود خب پس دیگه لطفا حلش بذارید ببینیم چی میشه ؟
خب یه مثلث متساوی الاضلاع به ضلع 1 می کشیم. خب با بدترین حالت فرض می کنیم هر سه راس رنگ های متفاوتی داریم و دقیقا قرینه ی اون مثلث یه راس دیگه می کشیم و رسم می کنیم با بدترین حالت اینم با 2 تای دیگه فرق می کنه. ولی با اون بالاییه یکیه.و فاصله رادیکال 3 هست. خب پس همه ی نقاط با فاصله ی رادیکال 3 همرنگ هستند (چون اگه نباشند حکم اثبات میشه) حالا یه نقطه در نظر می گیریم و یه نقطه ی همرنگ با اون در فاصله ی رادیکال 3 و بعد یه نقطه ی دیگه که با نقطه اول فاصله رادیکال 3 داره رسم می کنیم به طوری که فاصله با نقطه ی دوم 1 باشه، پس دو نقطه همرنگ با فاصله ی 1 وجود دارد. چون خیلی ممکنه چیزی نفهمیده باشید براتون شکل رسم می کنم.
10-30-2012_10-53-26_pm-1351625124.jpg
 
ارسال ها
337
لایک ها
82
امتیاز
0
#12
پاسخ : چند سوال مقدماتی هندسه ترکیبیاتی

دوستان این موضوعم ادامه بدید اما فقط هندسه ی ترکیبیاتی بذاریدا !!
 

mamadsmart

New Member
ارسال ها
41
لایک ها
16
امتیاز
0
#13
پاسخ : چند سوال مقدماتی هندسه ترکیبیاتی

این نوع مسائل مثه مسائل اعداد رمزی هستند مثلا با مطالعه کتاب اصول و فنون میتونید خودتونو تو این مبحث قویتر کنید.
 

Yousefi

Well-Known Member
ارسال ها
432
لایک ها
602
امتیاز
93
#14
پاسخ : چند سوال مقدماتی هندسه ترکیبیاتی

صفحه را با 2 رنگ رنگ کردیم، ثابت کنید مستطیلی وجود دارد که هر 4 راس همرنگ باشد.
 

Yousefi

Well-Known Member
ارسال ها
432
لایک ها
602
امتیاز
93
#15
پاسخ : چند سوال مقدماتی هندسه ترکیبیاتی



n>4 نقطه در صفحه داریم. بعضی از آن ها را قرمز و بقیه را سیاه کردیم. هیچ سه نقطه ی همرنگی روی یک خط قرار ندارند. ثابت کنید می توان سه نقطه ی همرنگ پیدا کرد به طوری که دو تا از این نقاط، نقطه ی غیر همرنگی روی خط واصل بین آنها نباشد.
 

Yousefi

Well-Known Member
ارسال ها
432
لایک ها
602
امتیاز
93
#16
پاسخ : چند سوال مقدماتی هندسه ترکیبیاتی

درسته حالا رو سوال 2 فکر کنید.
 

Gold3nFox

New Member
ارسال ها
4
لایک ها
0
امتیاز
0
#17
پاسخ : چند سوال مقدماتی هندسه ترکیبیاتی

2
اگه تعداد یک رنگ بیشتر از رنگ دیگر بود رنگی که تعداد بیشتری دارد را اننخاب می کنیم => تعداد خط ها بیشتر از تعداد نقطه های غیر اون رنگ میشه.اگر هم مساوی بودند در میشه چند تا n ضلعی درون هم که آخرین n ضلعی حداقل 1 ضلع آزاد دارد.
 

Yousefi

Well-Known Member
ارسال ها
432
لایک ها
602
امتیاز
93
#18
پاسخ : چند سوال مقدماتی هندسه ترکیبیاتی

2
اگه تعداد یک رنگ بیشتر از رنگ دیگر بود رنگی که تعداد بیشتری دارد را اننخاب می کنیم => تعداد خط ها بیشتر از تعداد نقطه های غیر اون رنگ میشه.اگر هم مساوی بودند در میشه چند تا n ضلعی درون هم که آخرین n ضلعی حداقل 1 ضلع آزاد دارد.
اشتباه نیست ولی حالت کلی اثبات کنید.
 

Gold3nFox

New Member
ارسال ها
4
لایک ها
0
امتیاز
0
#19
پاسخ : چند سوال مقدماتی هندسه ترکیبیاتی

اینم حالت کلیه .. فقط حالت بندی کردم 1: یک رنگ بیشتر باشه 2:مساوی باشند .. منظورت اینه که حالت بندی نکنم ؟
 

Gold3nFox

New Member
ارسال ها
4
لایک ها
0
امتیاز
0
#20
پاسخ : چند سوال مقدماتی هندسه ترکیبیاتی

در حالت دوم من بدترین حالت را توصیف کرده ام اگر جور دیگر باشد باز هم تعداد خط ها از تعداد نقطه های آن بیشتر می شود. :199:
 
بالا