یک سوال نظریه اعداد

mathsmart · 1392/4/8

اگر a,b دو عدد طبیعی باشند به طوری که

$a^{2}+a=2b^{2}+b$

ثابت کنید که a-b مربع کامل است.
راه حل:فرض کنید که

$a^{2}+a=2b^{2}+b$

در این صورت

$a^{2}-b^2+a-b=b^2$

پس

$(a-b)(a+b)+a-b=b^2$

و در نتیجه

$(a-b)(a+b+1)=b^2$

بس حاصل ضرب عدد های دو پرانتز مربع کامل است.اگر ثابت کنیم این دو عدد نسبت به هم اول اند.انگاه هر دو باید مربع کامل باشند و حکم ثابت میشود.
فرض کنید d>0

$d\mid a-b$

و

$d\mid a+b+1$

پس

$d^2\mid (a-b)(a+b+1)$

و در نتیجه

$d^2\mid b^2$

پس بنابر قضیه بنیادی حساب

$d\mid b$

از اینکه

$d\mid b$

و

$d\mid a-b$

نتیجه میشود

$d\mid a$

و بنابراین

$d\mid a+b$

از طرف دیگر چون

$d\mid a+b+1$

از دو رابطه اخیر نتیجه می شود

$d\mid 1$

پس d=1
و در نتیجه

$(a-b,a+b+1)=1$

و حکم مساله ثابت شده است
کسی می تونه توضیح بده چه جوری با استفاده از قضیه بنیادی حساب می توان از

$d^2\mid b^2$

به

$d\mid b$

رسید

mehrdad1st · 1392/4/8

پاسخ : یک سوال نظریه اعداد

از راه ب.م.م هم میشه به راحتی حکم رو ثابت کرد.:116:

hosseinmoghaddas · 1392/4/8

پاسخ : یک سوال نظریه اعداد

mathsmart;173262[SIZE=2 گفت

]اگر a,b دو عدد طبیعی باشند به طوری که

$a^{2}+a=2b^{2}+b$

ثابت کنید که a-b مربع کامل است.
راه حل:فرض کنید که

$a^{2}+a=2b^{2}+b$

در این صورت

$a^{2}-b^2+a-b=b^2$

پس

$(a-b)(a+b)+a-b=b^2$

و در نتیجه

$(a-b)(a+b+1)=b^2$

بس حاصل ضرب عدد های دو پرانتز مربع کامل است.اگر ثابت کنیم این دو عدد نسبت به هم اول اند.انگاه هر دو باید مربع کامل باشند و حکم ثابت میشود.
فرض کنید d>0

$d\mid a-b$

و

$d\mid a+b+1$

پس

$d^2\mid (a-b)(a+b+1)$

و در نتیجه

$d^2\mid b^2$

پس بنابر قضیه بنیادی حساب

$d\mid b$

از اینکه

$d\mid b$

و

$d\mid a-b$

نتیجه میشود

$d\mid a$

و بنابراین

$d\mid a+b$

از طرف دیگر چون

$d\mid a+b+1$

از دو رابطه اخیر نتیجه می شود

$d\mid 1$

پس d=1
و در نتیجه

$(a-b,a+b+1)=1$

و حکم مساله ثابت شده است
کسی می تونه توضیح بده چه جوری با استفاده از قضیه بنیادی حساب می توان از

$d^2\mid b^2$

به

$d\mid b$

رسید[/SIZE]

از برهان خلف هم فکر کنم بشه.

Al!R3ZA · 1392/4/8

پاسخ : یک سوال نظریه اعداد

فرض کنید b رو به عوامل اول تجریه کردیم :

$b=p_1p_2...p_m\Rightarrow b^2=p_1^2p_2^2...p_m^2$

حالا چون

$d^2|b^2$

، پس تمام عوامل اول

$d^2$

، حتماً جزو

$p_i$

هاست به طوری که

$(1\leq i \leq m)$

حالا اگه از

$d^2$

جذر بگیریم، عوامل اولش هم باز جزو همون

$p_i$

هاست و چون تموم

$p_i$

ها b رو عاد میکنن ، پس d هم b رو عاد میکنه !
(فک کنم یه ذره بد توضیح دادم !)

mathsmart · 1392/4/9

پاسخ : یک سوال نظریه اعداد

Al!R3ZA گفت

سلام یعنی میشه همیشه از

$a^2\mid b^2$

نتیجه گرفت

$a\mid b$

من فکر نمی کنم درست باشه

Al!R3ZA · 1392/4/9

پاسخ : یک سوال نظریه اعداد

mathsmart گفت

سلام
ببین وقتی یه چیزی، چیز دیگرو عاد میکنه، یعنی حتماً تمام عوامل اول اون رو با توان کمتر داره
حالا جذر هم بگیری بازم همون میشه ! تمام عواملش رو داره !
چون عامل اول دیگه ای که وارد یا خارج نمیشه !

a$hk@n · 1392/4/9

پاسخ : یک سوال نظریه اعداد

Al!R3ZA گفت

نه اشتباه است
اگر b عاد کنه a رو انگاه b به توان 2 عاد میکنه a به توان 2 به اگر و آنگاه دقت کنین شرطی جمله

Al!R3ZA · 1392/4/9

پاسخ : یک سوال نظریه اعداد

ashkant گفت

منظورتون اینه؟

$a|b\Leftrightarrow a^2|b^2$

a$hk@n · 1392/4/9

پاسخ : یک سوال نظریه اعداد

نه ... این علامت دو شرطیه
اگر وآنگاه فلشش یک طرفس

Al!R3ZA · 1392/4/9

پاسخ : یک سوال نظریه اعداد

ashkant گفت

طرف اولش که ساده است !
طرف دومم با قضیه حساب اثبات میشه !
نمیشه؟ :218:

a$hk@n · 1392/4/9

پاسخ : یک سوال نظریه اعداد

اینی که شما میگی اینه :161:

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

من منظورم

Al!R3ZA · 1392/4/9

پاسخ : یک سوال نظریه اعداد

ashkant گفت

خوب من میگم اون طرفشم ثابت میشه !
چون هر دو طرف برقراره میشه دو شرطی !

sima98 · 1392/4/9

پاسخ : یک سوال نظریه اعداد

الان مشکل چیه؟؟؟

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

mathsmart گفت

اگرa=0نباشه!
بله همیشه میتوان نتیجه گرفت

یک سوال نظریه اعداد

mathsmart

New Member

mehrdad1st

New Member

hosseinmoghaddas

New Member

Al!R3ZA

Well-Known Member

mathsmart

New Member

Al!R3ZA

Well-Known Member

a$hk@n

New Member

Al!R3ZA

Well-Known Member

a$hk@n

New Member

Al!R3ZA

Well-Known Member

a$hk@n

New Member

Al!R3ZA

Well-Known Member

sima98

New Member