راهنمایی های سوال های بدون جواب تئوری اعداد صفا

n_maths · 1392/8/15

سلام.من تو حل سوالای آخر صفا مشکل دارم،گفتم یه تاپیک بزنم در باره این موضوع،که کسایی که بلدن از جمله اساتید سایت لطف کنن جواب این سوالا رو اینجا بذارن.خیلی ممنون.امیدوارم با شکست مواجه نشه:212:
اولین سوال:فرض کنید P مجموعه تمام اعداد اول بزرگتر از 5 باشد.مجموعه Q را به این نحو تعریف میکنیم:

$Q= \left \{ p^{8}-1\mid p\epsilon P \right \}$

ب.م.م تمام اعضای مجموعه Q را پیدا کنید.

Aria Keshtkar · 1392/8/15

پاسخ : راهنمایی های سوال های بدون جواب تئوری اعداد صفا

n_maths گفت

http://www.irysc.com/forum/t14851/

MiMi1376 · 1392/8/15

پاسخ : راهنمایی های سوال های بدون جواب تئوری اعداد صفا

این ب م م برابر است با 32*15

Mostafa_ · 1392/8/15

پاسخ : راهنمایی های سوال های بدون جواب تئوری اعداد صفا

n_maths گفت

یه پیشنهاد .... برای اینکه این تاپیک هم مثله تاپیک هندسه و جبر یه تاپیک تقریبا جامع برای سوال های بدون پاسخ این کتابا بشه بهتر نیست سوال ها رو با یه ترتیب خاصی بذاریم؟ ... مثلا از اول شروع کنیم ..... یا یه سری سوال هایی که نسبت به بقیه مشکل ترن رو بذاریم

n_maths · 1392/8/15

پاسخ : راهنمایی های سوال های بدون جواب تئوری اعداد صفا

خب بله،کاملا درست میگین:118:

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

1) (برزیل 1993)
چند جمله اول دنباله رو مینویسیم:

$2^{3},2\times 3^{2},2^{4}\times 3^{2},2^{5}\times 3^{4},2^{9}\times 3^{6},2^{14}\times 3^{2},...$

کاملا مشخصه که به ازای n ها یه مضرب 3 حکم برقراه.پس یعنی کلا به ازای n های مضرب3

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

2) (برزیل 1990) نقل قول از H_Nahar

جواب

$1991^{3}+1990\cdot 1991^{3}=1991^{4}$

با یکم دقت به دست میاد. حالا فرض کنید

$t$

عددی طبیعی و بزرگتر از 1 باشه، به این ترتیب جواب بعدی رو می‌سازیم:

$a^{3}+1990b^{3}=c^{4}\Rightarrow a^{3}t^{12}+1990b^{3}t^{12}=c^{4}t^{12}\\ ~~~~~\Rightarrow (at^{4})^{3}+1990(bt^{4})^{3}=(ct^{3})^{4}\\ ~~~~~\Rightarrow (a,b,c)=(at^{4},bt^{4},ct^{3})$

چون

$t$

دلخواهه، پس این معادله بی‌نهایت جواب داره

n_maths · 1392/8/16

پاسخ : راهنمایی های سوال های بدون جواب تئوری اعداد صفا

سوال 3 رو لطفا یکی جوابشو بذاره.بلد نیستم

Aria Keshtkar · 1392/8/16

پاسخ : راهنمایی های سوال های بدون جواب تئوری اعداد صفا

n_maths گفت

پاسخ پرسش 3 :

$\left\{\begin{matrix} p=q=2\rightarrow p+6=8\notin \mathbb{P}\\ p=3\rightarrow p+6=9\notin \mathbb{P}\\ q=3\rightarrow \left\{\begin{matrix} p\equiv 5\left ( mod\ 6 \right )\rightarrow p+10\equiv 3\left ( mod\ 6 \right )\notin \mathbb{P}\\ p\equiv 1\left ( mod\ 6 \right )\rightarrow \left ( p,q \right )=\left \{ \left ( 7,3 \right ),\left ( 13,3 \right ),\left ( 37,3 \right ),\left ( 97,3 \right ) \right \} \end{matrix}\right.\\ p\equiv q\equiv 1\left ( mod\ 6 \right )\rightarrow p+q+1\equiv 3\left ( mod\ 6 \right )\notin \mathbb{P} \end{matrix}\right.$

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----
پاسخ پرسش 4 :
http://www.irysc.com/forum/t14851/
پست دوم را مطالعه فرمایید.

پاسخ پرسش 5 :
http://www.irysc.com/forum/t14851/
پست ششم را مطالعه فرمایید.

پاسخ پرسش 6 :

$1)y=0\rightarrow 2^{x}+1=z^{2}\rightarrow 2^{x}=\left ( z-1 \right )\left ( z+1 \right )\ and\ 2^{x},z+1> 0\rightarrow z-1> 0\rightarrow 2\mid z-1,z+1\rightarrow 4\mid z+1\ ,\ z-1\equiv 2\left ( mod\ 4 \right )\rightarrow z-1=2\rightarrow z=3\rightarrow x=3\rightarrow \left ( x,y,z \right )=\left ( 3,0,3 \right )$

$2)y> 0\rightarrow 3\mid 3^{y}\rightarrow 2^{x}\equiv z^{2}\left ( mod\ 3 \right ),z^{2}\equiv 1\left ( mod\ 3 \right )\rightarrow 2^{x}\equiv 1\left\equiv \left ( -1 \right )^{x} ( mod\ 3 \right )\rightarrow x=2k\left ( k\in \mathbb{N}\cup \left \{ 0 \right \} \right )\rightarrow 3^{y}=z^{2}-2^{x}\rightarrow 3^{y}=\left ( z-2^{k} \right )\left ( z+2^{k} \right )\ and\ 3^{y},z+2^{k}> 0\rightarrow z-2^{k}> 0\rightarrow z+2^{k}> 1\rightarrow 3\mid z+2^{k},3\not\equiv 0\left ( mod\ 2^{k+1} \right )\rightarrow 3\not\equiv 0\left ( mod\ z-2^{k} \right )\rightarrow z-2^{k}=1\rightarrow z=2^{k}+1\rightarrow 3^{y}=2^{k+1}+1$

$2)a)k=0\rightarrow x=0,y=1,z=2\rightarrow \left ( x,y,z \right )=\left ( 0,1,2 \right )\\ 2)b)k> 0\rightarrow 4\mid 2^{k+1}\rightarrow 3^{y}\equiv 2^{k+1}+1\equiv 1\left ( mod\ 4 \right )\equiv \left ( -1 \right )^{y}\rightarrow y=2k^{'}\left ( k^{'}\in \mathbb{N} \right )\rightarrow 3^{y}=2^{k+1}+1\rightarrow 2^{k+1}=\left ( 3^{k^{'}}-1 \right )\left ( 3^{k^{'}} +1\right )\ and\ 2^{k+1},3^{k^{'}}+1> 0\rightarrow 3^{k^{'}}-1> 0,3^{k^{'}}+1> 2\rightarrow 4\mid 3^{k^{'}}+1\ ,\ 3^{k^{'}}-1\equiv 2\left ( mod 4 \right )\rightarrow 3^{k^{'}}-1=2\rightarrow k^{'}=1\rightarrow \left ( x,y,z \right )=\left ( 4,2,5 \right )$

پس تمامی پاسخ ها عبارتند از

$\left ( x,y,z \right )=\left \{ \left ( 3,0,3 \right ),\left ( 0,1,2 \right ),\left ( 4,2,5 \right ) \right \}$

.

پاسخ پرسش 8 : (پاسخ از من نیست.)
معادله را در 4 ضرب کنید و آن را به صورت

$\sum \left ( 2x+3 \right )^{2}=7$

درآورید سپس قرار دهید

$(2x+3,2y+3,2z+3)=\left ( A,B,C \right )$

لذا هدف جلَ معادله ی

$A^{2}+B^{2}+C^{2}=7D^{2}$

که اگر آن را به پیمانه ی 4 در نظر گرفته و فرض کنیم

مینیمم شود ، پاسخ

$\left | \frac{A}{2} \right |+\left | \frac{B}{2} \right |+\left | \frac{C}{2} \right |+\left | \frac{D}{2} \right |$

حاصل می شود که به وضوح از پاسخ اوّلیّه کوچکتر است پس معادله در اعداد گویا دارای پاسخ نمی باشد.

پاسخ پرسش 9 :

$x^{2}y^{2}=z^{2}\left ( z^{2}-x^{2}-y^{2} \right )\rightarrow z^{4}-\left ( x^{2}+y^{2} \right )z^{2}-x^{2}y^{2}=0\rightarrow \left \left (-( x^{2}+y^{2} \right ) \right )^{2}-4\left ( 1 \right )\left ( -x^{2}y^{2} \right )=A^{2}\rightarrow \left ( x^{2}+y^{2} \right )^{2}+4x^{2}y^{2}=A^{2}\rightarrow \left ( x^{2}+y^{2} \right )^{2}+\left ( 2xy \right )^{2}=A^{2},\left ( x^{2}+y^{2} \right )^{2}-\left ( 2xy \right )^{2}=\left ( x^{2}-y^{2} \right )^{2}=B^{2}$

حال نشان می دهیم که دو عدد طبیعی

$a,b$

وجود ندارند که

$a^{2}+b^{2},a^{2}-b^{2}$

مربّع کامل شوند.
برهان خلف می زنیم و فرض می کنیم چنین اعدادی وجود داشته باشند لذا باید داشته باشیم :

$a^{2}+b^{2}=c^{2},a^{2}-b^{2}=d^{2}\rightarrow c^{4}-d^{4}=\left ( a^{2}+b^{2} \right )^{2}-\left ( a^{2}-b^{2} \right )^{2}=\left ( 2ab \right )^{2},\left 2ab\rightarrow e\ \rightarrow c^{4}-d^{4}=e^{2}$

که این معادله در مجموعه ی اعداد طبیعی دارای پاسخ نمی باشد.(چرا؟)
پس معادله ی اوّلیّه دارای پاسخ نمی باشد.

پاسخ پرسش 10 :
از این نکته استفاده کنید که

$n^{2}+2n+12=\left ( n+1 \right )^{2}+11$

.

پاسخ پرسش 11 :

$y^{2}\left ( x-1 \right )=x^{5}-1\rightarrow \left ( y-1 \right )\left ( y+1 \right )=x\left ( x+1 \right )\left ( x^{2}+1 \right )\rightarrow \left ( x,y \right )=\left \{ \left ( 1,1 \right ),\left ( 3,11 \right ) \right \}$

پاسخ پرسش 12 :

$w\left ( a \right )=w\left ( b \right )\rightarrow w\left ( a \right )-w\left ( b \right )=0\rightarrow w\left ( a \right )-w\left ( b \right )=\left ( a-b \right )\left ( a^{3}+b^{3}+a^{2}b+ab^{2}-3\left ( a^{2}+ab+b^{2} \right )+5\left ( a+b \right )-9 \right )=0\ and\ s=a+b\ ,\ p=ab\rightarrow a^{3}+b^{3}+a^{2}b+ab^{2}-3\left ( a^{2}+ab+b^{2} \right )+5\left ( a+b \right )-9=s^{3}-2sp-3s^{2}+3p+5s-9=0\rightarrow p=\frac{s^{3}-3s^{2}+5s-9}{2s-3}$

حال باید تمام اعداد صحیحی که به ازای آنان

$p\in \mathbb{Z}$

می شود را بیابیم که داریم :

$2s-3\mid \left ( 2s-3 \right )^{3}-8\left ( s^{3}-3s^{2}+5s-9 \right )\rightarrow 2s-3\mid 12s^{2}-22s+45\rightarrow 2s-3\mid \left (12s^{2}-22s+45 \right )-3\left ( 2s-3 \right )^{2}\rightarrow 2s-3\mid 14s+18\rightarrow 2s-3\mid \left ( 14s+18 \right )-7\left ( 2s-3 \right )\rightarrow 2s-3\mid 39\rightarrow \left 2s-3=\left \{ \pm 1,\pm 3,\pm 13,\pm 39 \right \}$

که با حالت بندی کردن پاسخ های

$\left ( a,b \right )=\left \{ \left ( 2,1 \right ),\left ( 1,2 \right ),\left ( 3,-1 \right ),\left ( -1,3 \right ) \right \}$

حاصل می شوند.

پاسخ پرسش 18 :
به وضوح یکی از پاسخ های معادله

$\left ( x,y \right )=\left ( 1,1 \right )$

است و در غیر این صورت و با فرض

$x,y> 1$

داریم :

$7^{x}-3^{y}=4\rightarrow 7\left ( 7^{x-1}-1 \right )=3\left ( 3^{y-1}-1 \right )\rightarrow 7\mid 3^{y-1}-1,ord_{7}\left ( 3 \right )=6\rightarrow 6\mid y-1\rightarrow 3^{6}-1=2^{3}.7.13\rightarrow 13\mid 3^{6}-1\mid 3^{y-1}-1\rightarrow 13\mid 7^{x-1}-1,ord_{13}\left ( 7 \right )=12\rightarrow 12\mid x-1\rightarrow 7^{12}-1=2^{5}.3^{2}.5^{2}.13.19.43.181\rightarrow 3^{2}\mid 7^{12}-1\mid 7^{x-1}-1\rightarrow 3^{2}\mid 3\left ( 3^{y-1}-1 \right )\rightarrow 3\mid 3^{y-1}-1$

که نادرست است بنابراین در این صورت هیچ پاسخی وجود ندارد.

پاسخ پرسش 19 :

$d=\gcd \left ( p,2^{p}+1 \right )\rightarrow d\mid p\ ,\ p\mid 2^{p}-2\rightarrow d\mid 2^{p}-2\ ,\ d\mid 2^{p}+1\rightarrow d\mid 3\rightarrow d=1,3\ ,\ p> 3\rightarrow d=1$

پاسخ پرسش 22 :
http://www.irysc.com/forum/t14851-2/
پست هفدهم را مطالعه فرمایید.

پاسخ پرسش 31 :

$a_{1}=a_{2}=a_{3}=1,a_{n+1}=\frac{a_{n}a_{n-1}+1}{a_{n-2}}\rightarrow \left\{\begin{matrix} a_{n+1}a_{n-2}=a_{n}a_{n-1}+1\\ a_{n+2}a_{n-1}=a_{n+1}a_{n}+1 \end{matrix}\right.\overset{sum}{\rightarrow}a_{n+1}a_{n-2}+a_{n+1}a_{n}+1=a_{n+2}a_{n-1}+a_{n}a_{n-1}+1\rightarrow a_{n+1}\left ( a_{n-2}+a_{n} \right )=a_{n-1}\left ( a_{n+2}+a_{n} \right )\rightarrow \frac{a_{n+2}+a_{n}}{a_{n+1}}=\frac{a_{n}+a_{n-2}}{a_{n-1}}$

حال دو حالت مجزّای زیر را در نظر می گیریم :

$1)n=2k+1\rightarrow \frac{a_{n+2}+a_{n}}{a_{n+1}}=\frac{a_{n}+a_{n-2}}{a_{n-1}}=...=\frac{a_{3}+a_{1}}{a_{2}}=2\in \mathbb{N}\\ 2)n=2k\rightarrow \frac{a_{n+2}+a_{n}}{a_{n+1}}=\frac{a_{n}+a_{n-2}}{a_{n-1}}=...=\frac{a_{4}+a_{2}}{a_{3}}=3\in \mathbb{N}$

که در هر صورت هم ، تمام جملات این دنباله اعدادی طبیعی هستند.

پاسخ پرسش 32 :
http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?t=220913
همه ی پست ها و خصوصاً پست سوم را مطالعه کنید.

پاسخ پرسش 38 :

$x^{2}+2y=a^{2}\rightarrow x^{2}+y=\frac{2x^{2}+2y}{2}=\frac{\left ( x^{2} \right )+\left ( x^{2} +2y\right )}{2}=\frac{x^{2}+a^{2}}{2}=\left ( \frac{x+a}{2} \right )^{2}+\left ( \frac{x-a}{2} \right )^{2}$

پاسخ پرسش 40 :باید نشان دهیم که

$\frac{A}{q}=\frac{c^{2}+nd^{2}}{a^{2}+nb^{2}}$

را می توان به صورت

$x^{2}+ny^{2}$

نوشت که داریم :

$\left ( a^{2}+nb^{2} \right )\left ( x^{2}+ny^{2} \right )=\left ( ax-nby \right )^{2}+n\left ( ay+bx \right )^{2}=\left ( ax+nby \right )^{2}+n\left ( ay-bx \right )^{2}$

که این اتّحاد را اتّحاد براهماگوپتا-فیبوناتچی می نامند که حالت خاصّی از اتّحاد لاگرانژ است.
لذا با تغییر متغیَر

$\left ( c,d \right )\rightarrow \left \{ \left ( ax-nby,ay+bx \right ),\left ( ax+nby,ay-bx \right ) \right \}$

مسئله حل می شود.

پاسخ پرسش 50 :

$n^{10}+n^{5}+1=\left ( n^{2}+n+1 \right )\left ( n\left ( n-1 \right )\left ( n+1 \right )\left ( n^{2}+1 \right )\left ( n^{3}-n^{2}+1 \right )+1 \right ),n^{2}+n+1\geq 3\rightarrow n^{2}+n+1=p\ ,\ n\left ( n-1 \right )\left ( n+1 \right )\left ( n^{2}+1 \right )\left ( n^{3}-n^{2}+1 \right )+1=1\rightarrow n=1\rightarrow p=3$

پاسخ پرسش 72 :

$\left ( l+m+n \right )\left ( \frac{1}{l}+\frac{1}{m}+\frac{1}{n} \right )\in \mathbb{Z}\rightarrow lmn\mid \left ( l+m+n \right )\left ( lm+mn+nm \right )\\ \gcd \left ( l,lm+mn+nl \right )=\gcd \left ( l,mn \right )=1 \\ \gcd \left ( m,lm+mn+nl \right )=\gcd \left ( m,nl \right )=1 \\ \gcd \left ( n,lm+mn+nl \right )=\gcd \left ( n,lm \right )=1 \\ \gcd \left ( lmn,lm+mn+nl \right )=1\rightarrow lmn\mid l+m+n\rightarrow \frac{1}{lm}+\frac{1}{mn}+\frac{1}{nl}\in \mathbb{N}\overset{WLOG}{\rightarrow}l\geq m\geq n\ ,\ \frac{1}{lm}+\frac{1}{mn}+\frac{1}{nl}\leq 3\rightarrow \\ 1)lmn=l+m+n\rightarrow \left ( l,m,n \right )=\left ( 3,2,1 \right )\\ 2)2lmn=l+m+n\rightarrow \left ( l,m,n \right )=\left ( 2,1,1 \right )\\ 3)3lmn=l+m+n\rightarrow \left ( l,m,n \right )=\left ( 1,1,1 \right )$

امّا جایگشت های

$\left ( l,m,n \right )$

را نیز در نظر می گیریم.

پاسخ پرسش 92 :

$n^{2}=a+b\rightarrow b=n^{2}-a\ ,\ n^{3}=a^{2}+b^{2}\rightarrow n^{3}=a^{2}+\left ( n^{2}-a \right )^{2}\rightarrow 2a^{2}-2n^{2}a+n^{4}-n^{3}=0\rightarrow \Delta =\left ( -2n^{2} \right )^{2}-4\left ( 2 \right )\left ( n^{4}-n^{3} \right )\geq 0\rightarrow n^{3}\left ( 2-n \right )\geq 0\rightarrow n=1,2$

پاسخ پرسش 97 :

$nx^{2}y^{2}z^{2}=x^{3}+y^{3}+z^{3}\leq 3x^{3}\rightarrow ny^{2}z^{2}\leq 3x\ ,\ y^{2}z^{2}\leq ny^{2}z^{2}\rightarrow y^{2}z^{2}\leq 3x\ ,\ x^{2}\mid nx^{2}y^{2}z^{2}\mid x^{3}+y^{3}+z^{3}\rightarrow x^{2}\mid x^{3}+y^{3}+z^{3}\ ,\ x^{2}\mid x^{3}\rightarrow x^{2}\mid y^{3}+z^{3}\rightarrow x^{2}\leq y^{3}+z^{3}\rightarrow y^{3}+z^{3}\geq x^{2}\geq \frac{y^{4}z^{4}}{9}\geq \frac{y^{3}z^{3}}{9}\rightarrow 9\left ( y^{3}+z^{3} \right )\geq y^{3}z^{3}\rightarrow 81\geq \left ( y^{3}-9 \right )\left ( z^{3}-9 \right )\rightarrow \left ( y,z \right )=\left \{ \left ( 1,1 \right ),\left ( 2,1 \right ),\left ( 1,2 \right ) \right \}\rightarrow \left ( x,y,z,n \right )=\left \{ \left ( 1,1,1,3 \right ),\left ( 1,2,3,3 \right ),\left ( 1,3,2,3 \right ),\left ( 2,1,3,3 \right ),\left ( 2,3,1,3 \right ),\left ( 3,1,2,3 \right ),\left ( 3,2,1,3 \right ) \right \}$

در انتهای پاسخ ، جایگشت ها نیز شمرده شده اند.

پاسخ پرسش 114 :

$\frac{a^{2}+b}{b^{2}-a}\ ,\ \frac{b^{2}+a}{a^{2}-b}\in \mathbb{Z}\rightarrow \left\{\begin{matrix} b^{2}-a\mid a^{2}+b\rightarrow b^{2}-a\leq a^{2}+b\rightarrow b\left ( b-1 \right )\leq a\left ( a+1 \right )\\ a^{2}-b\mid b^{2}+a\rightarrow a^{2}-b\leq b^{2}+a\rightarrow a\left ( a-1 \right )\leq b\left ( b+1 \right ) \end{matrix}\right.\\ 1)a=b\rightarrow a^{2}-a\mid a^{2}+a\ ,\ a^{2}-a\mid a^{2}-a\rightarrow a^{2}-a\mid 2a\rightarrow a^{2}-a\leq 2a\rightarrow a^{2}-3a\leq 0\rightarrow a=1,2,3\overset{a\neq 1}{\rightarrow}\left ( a,b \right )=\left \{ \left ( 2,2 \right ),\left ( 3,3 \right ) \right \}\\ 2)a+1=b\rightarrow a^{2}-\left ( a+1 \right )\mid \left ( a+1 \right )^{2}+a\rightarrow a^{2}-a-1\mid a^{2}+3a+1\ ,\ a^{2}-a-1\mid a^{2}-a-1\rightarrow a^{2}-a-1\mid 4a+2\rightarrow a^{2}-a-1\leq 4a+2\rightarrow a^{2}-5a-3\leq 0\rightarrow a=1,2,3,4,5\overset{a\neq 3,4,5}{\rightarrow} \left ( a,b \right )=\left \{ \left ( 1,2 \right ),\left ( 2,3 \right ) \right \}$

$3)a=b+1\rightarrow \left ( a,b \right )=\left \{ \left ( 2,1 \right ),\left ( 3,2 \right ) \right \}$

دقّت کنید که در حالت سوم

$\left ( a,b \right )$

به

$\left ( b,a \right )$

تبدیل می شود.

پاسخ پرسش 117 :

$y_{0}=1\ ,\ y_{n+1}=\frac{1}{2}\left ( 3y_{n}+\sqrt{5y_{n}^{2}-4} \right )\rightarrow 2y_{n+1}=3y_{n}+\sqrt{5y_{n}^{2}-4}\rightarrow 2y_{n+1}-3y_{n}=\sqrt{5y_{n}^{2}-4}\overset{square}{\rightarrow}4y_{n+1}^{2}+9y_{n}-12y_{n+1}y_{n}=5y_{n}^{2}-4\rightarrow 4\left ( y_{n+1}^{2}+y_{n}^{2} \right )=4\left ( 3y_{n+1}y_{n}-1 \right )\rightarrow y_{n+1}^{2}+y_{n}^{2}=3y_{n+1}y_{n}-1\ ,\ y_{n}^{2}+y_{n-1}^{2}=3y_{n}y_{n-1}-1\overset{subtract}{\rightarrow}\left ( y_{n+1}+y_{n-1} \right )\left ( y_{n+1}-y_{n-1} \right )=3y_{n}\left ( y_{n+1}-y_{n-1} \right )\rightarrow y_{n+1}=3y_{n}-y_{n-1}$

حال از آن جایی که

$y_{0}=1\ ,\ y_{1}=2$

پس تمام جملات این دنباله اعدادی طبیعی هستند.

پاسخ پرسش 128 : (پاسخ از من نیست.)
حکم درست است زیرا داریم :

$\frac{a^{2}+b^{^{3}}}{c^{5}+d^{7}}=\frac{p}{q}\rightarrow \left ( a,b,c,d \right )=\left ( p^{18}.q^{87},p^{12}.q^{58},p^{7}.q^{35},p^{5}.q^{25} \right )$

راستی توان ها هم از این جا آمدند :

$lcm\left ( 2,3 \right )x=lcm\left ( 5,7 \right )y+1\rightarrow 6x=35y+1\rightarrow y=1\rightarrow x=6\rightarrow 6x=35y+1=36\\ lcm\left ( 5,7 \right )x=lcm\left ( 2,3 \right )y+1\rightarrow 35x=6y+1\rightarrow y=29\rightarrow x=5\rightarrow 35x=6y+1=175$

پاسخ پرسش 134 :

$m^{n}\mid n^{m}\rightarrow \left ( m^{n} \right )^{k}\mid \left ( n^{m} \right )^{k},n^{k}\mid k^{n}\rightarrow \left ( n^{k} \right )^{m}\mid \left ( k^{n} \right )^{m}\rightarrow m^{nk}\mid n^{mk}\mid k^{nm}\rightarrow m^{nk}\mid k^{nm}\rightarrow m^{k}\mid k^{m}$

پاسخ پرسش 136 :

$2^{8}+2^{11}+2^{n}=A^{2}\rightarrow 48^{2}+2^{n}=A^{2}\rightarrow 2^{n}=\left ( A-48 \right )\left ( A+48 \right )\rightarrow A-48=2^{m},A+48=2^{n-m}\rightarrow m=5,n=12,A=80$

پاسخ پرسش 137 :

$A=1+p+p^{2}+p^{3}+p^{4}\\ p=2\rightarrow A=31\neq B^{2}\\ p=3\rightarrow A=121=11^{2}\\ p> 3\rightarrow \left ( 2p^{2}+p+1 \right )^{2}> 4A> \left ( 2p^{2}+p \right )^{2}\rightarrow A\neq B^{2}$

پاسخ پرسش 144 :

$a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}\equiv 2^{2004}\left ( mod\ 8 \right )\rightarrow a=2a_{1},b=2b_{1},c=2c_{1},d=2d_{1}\left ( 0\leq a_{1}\leq b_{1}\leq c_{1}\leq d_{1} \right )\rightarrow a_{1}^{2}+b_{1}^{2}+c_{1}^{2}+d_{1}^{2}\equiv 2^{2002}\left ( mod\ 8 \right )\rightarrow a_{1}=2a_{2},b_{1}=2b_{2},c_{1}=2c_{2},d_{1}=2d_{2}\left ( 0\leq a_{2}\leq b_{2}\leq c_{2}\leq d_{2} \right )\rightarrow a_{2}^{2}+b_{2}^{2}+c_{2}^{2}+d_{2}^{2}\equiv 2^{2000}\left ( mod\ 8 \right )\rightarrow ...\rightarrow a_{1001}^{2}+b_{1001}^{2}+c_{1001}^{2}+d_{1001}^{2}\equiv 4 \left ( mod\ 8 \right )\left ( 0\leq a_{1001}\leq b_{1001}\leq c_{1001}\leq d_{1001}\ ,\ a=2^{1001}a_{1001},b=2^{1001}b_{1001},c=2^{1001}c_{1001},d=2^{1001}d_{1001} \right )$

$a_{1001}^{2}+b_{1001}^{2}+c_{1001}^{2}+d_{1001}^{2}=4\rightarrow \left ( a_{1001},b_{1001},c_{1001},d_{1001} \right )=\left \{ \left ( 1,1,1,1 \right ),\left ( 0,0,0,2 \right ) \right \}\rightarrow \left ( a,b,c,d \right )=\left \{ \left ( 2^{1001},2^{1001},2^{1001},2^{1001} \right ),\left ( 0,0,0,2^{1002} \right ) \right \}$

پاسخ پرسش 172 :

$xy^{2}+y+7\mid y\left ( x^{2}y+x+y \right )-x\left ( xy^{2}+y+7 \right )\rightarrow xy^{2}+y+7\mid y^{2}-7x\\ 1)y^{2}-7x> 0\rightarrow y^{2}-7x\geq xy^{2}+y+7\left ( contradiction \right )\\ 2)y^{2}-7x=0\rightarrow \left ( x,y \right )=\left ( 7k,7k^{2} \right )\left ( k\geq 1 \right )\\ 3)y^{2}-7x< 0\rightarrow 7x-y^{2}\geq xy^{2}+y+7\rightarrow y^{2}< 7\rightarrow y=1,2\\ 3)1)y=1\rightarrow x+8\mid x^{2}+x+1\rightarrow x+8\mid x\left ( x+8 \right )-\left ( x^{2}+x+1 \right )\rightarrow x+8\mid 7x-1\rightarrow x+8\mid 7\left ( x+8 \right )-\left ( 7x-1 \right )\rightarrow x+8\mid 57\rightarrow x=11,49\rightarrow \left ( x,y \right )=\left \{ \left ( 11,1 \right ),\left ( 49,1 \right ) \right \}\\ 3)2)y=2\rightarrow 4x+9\mid 2x^{2}+x+2\rightarrow 4x+9\mid x\left ( 4x+9 \right )-2\left ( 2x^{2}+x+2 \right )\rightarrow 4x+9\mid 7x-4\rightarrow 4x+9\mid 7\left ( 4x+9 \right )-4\left ( 7x-4 \right )\rightarrow 4x+9\mid 79\left ( contradiction \right )$

پاسخ پرسش 177 :

$p\in \mathbb{P}\ ,\ p\mid \gcd \left ( a^{2^{n}}+2^{2^{n}},a^{2^{m}}+2^{2^{m}} \right )\overset{WLOG}{\rightarrow}n> m\rightarrow p\mid a^{2^{m}}+2^{2^{m}}\rightarrow a^{2^{m}}\equiv -2^{2^{m}}\left ( mod\ p \right )\ ,\ a^{2^{n}}\equiv \left ( a^{2^{m}} \right )^{2^{n-m}}\equiv \left ( -2^{2^{m}} \right )^{2^{n-m}}\equiv 2^{2^{n}}\left ( mod\ p \right )\ ,\ p\mid a^{2^{n}}+2^{2^{n}}\rightarrow p\mid 2^{2^{n}+1}\rightarrow p=2\rightarrow a=2k$

در پاسخ فوق برهان خلف زده ایم و نهایتاً به نتیجه ای رسیده ایم که خلاف فرض مسئله است پس تناقض است و حکم مسئله درست است.

پاسخ پرسش 198 :

$-5^{4}+5^{5}+5^{n}=A^{2}\rightarrow 2500+5^{n}=A^{2}\rightarrow 5^{n}=\left ( A-50 \right )\left ( A+50 \right )\rightarrow A-50=5^{m},A+50=5^{n-m}\rightarrow m=2,n=5,A=75\\ 2^{4}+2^{7}+2^{n}=B^{2}\rightarrow 144+2^{n}=B^{2}\rightarrow 2^{n}=\left ( B-12 \right )\left ( B+12 \right )\rightarrow B-12=2^{m},B+12=2^{n-m}\rightarrow m=3,n=8,B=20$

پاسخ پرسش 205 :

$ac+bd=\left ( b+d+a-c \right )\left ( b+d-a+c \right )\rightarrow a^{2}-ac+c^{2}=b^{2}+bd+d^{2}\ ,\ \left ( ab+cd \right )\left ( ad+bc \right )=bd\left ( a^{2}-ac+c^{2} \right )+ac\left ( b^{2}+bd+d^{2} \right )\rightarrow \left ( ab+cd \right )\left ( ad+bc \right )=\left ( ac+bd \right )\left ( a^{2}-ac+c^{2} \right )\rightarrow \left ( a> b> c> d \right )\rightarrow ab+cd> ac+bd> ad+bc$

حال برهان خلف می زنیم و فرض می کنیم

$ab+cd\notin \mathbb{P}$

نباشد و داریم :

$\gcd \left ( ab+cd,ac+bd \right )=1\ ,\ \left ( ab+cd \right )\left ( ad+bc \right )=\left ( ac+bd \right )\left ( a^{2}-ac+c^{2} \right )\rightarrow ac+bd\mid ad+bc\rightarrow ac+bd\leq ad+bc$

که به وضوح تناقض است پس

$ab+cd\in \mathbb{P}$

.

پاسخ پرسش 210 :

$7\mid 3^{n}+n^{3}\rightarrow n\not\equiv 0\left ( mod\ 7 \right )\rightarrow n^{6}\equiv 1\left ( mod\ 7 \right )\rightarrow 3^{n}+n^{3}\equiv n^{3}\left ( 3^{n}+n^{3} \right )\equiv 3^{n}n^{3}+n^{6}\equiv 3^{n}n^{3}+1\left ( mod\ 7 \right )\rightarrow 7\mid 3^{n}n^{3}+1\\ 7\mid 3^{n}n^{3}+1\rightarrow n\not\equiv 0\left ( mod\ 7 \right )\rightarrow n^{6}\equiv 1\left ( mod\ 7 \right )\rightarrow 3^{n}n^{3}+1\equiv n^{3}\left ( 3^{n}n^{3}+1 \right )\equiv 3^{n}n^{6}+n^{3}\equiv 3^{n}+n^{3}\left ( mod\ 7 \right )\rightarrow 7\mid 3^{n}+n^{3}$

پاسخ پرسش 211 :

$\left \lfloor n \right \rfloor=k\rightarrow n=k^{2}+a\ ,\ k^{2}\leq n< \left ( k+1 \right )^{2}\rightarrow k^{2}\leq k^{2}+a< \left ( k+1 \right )^{2}\rightarrow 0\leq a< 2k+1\rightarrow 0\leq a\leq 2k\ ,\ \left \lfloor n \right \rfloor \mid n\rightarrow k\mid k^{2}+a\rightarrow k\mid a\ ,\ 0\leq a\leq 2k\rightarrow a=0,k,2k\rightarrow n=k^{2},k^{2}+k,k^{2}+2k$

پاسخ پرسش 213 :
http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?t=382827&p3235183#p3235183
پست چهارم را مطالعه کنید.

پاسخ پرسش 219 :

$i\mid a_{i}\ ,\ a_{i}=a_{1}+\left ( i-1 \right )d\rightarrow i\mid a_{1}+\left ( i-1 \right )d\rightarrow i\mid a_{1}-d\ ,\ a_{n}\not\equiv 0\left ( mod\ n \right )\ ,\ a_{n}=a_{1}+\left ( n-1 \right )d\rightarrow a_{1}-d\not\equiv 0\left ( mod\ n \right )\\ n=ab\ ,\ \left \gcd ( a,b \right )=1\left ( n> a,b> 1 \right )\rightarrow a\mid a_{1}-d\ ,\ b\mid a_{1}-d\ ,\ \gcd \left ( a,b \right )=1\rightarrow ab\mid a_{1}-d\rightarrow n\mid a_{1}-d$

در خطّ سوم اثبات فوق ، از برهان خلف استفاده شده است و نهایتاً نیز به وضوح به تناقض رسیده ایم پس حکم درست می باشد.

پاسخ پرسش 221 :

$\sqrt{k^{2}-pk}\in \mathbb{N}\rightarrow k^{2}-pk=A^{2}\\ 1)p\mid k\rightarrow k=ap\rightarrow k^{2}-pk=p^{2}a\left ( a-1 \right )=A^{2}\rightarrow a\left ( a-1 \right )=\left ( \frac{A}{p} \right )^{2}\ ,\ \gcd \left ( a,a-1 \right )=1\rightarrow a=B^{2}\ ,\ a-1=C^{2}\rightarrow a=1\rightarrow k=p\rightarrow \sqrt{k^{2}-pk}=0\notin \mathbb{N}\\ 2)\left \gcd \left ( p,k \right )=1\rightarrow \gcd \left ( p,k-p \right )=1\ ,\ k^{2}-pk=k\left ( k-p \right )=A^{2}\rightarrow k=B^{2}\ ,\ k-p=C^{2}\rightarrow p=B^{2}-C^{2}=\left ( B-C \right )\left ( B+C \right )$

$\rightarrow B-C=1\ ,\ B+C=p\rightarrow p=2C+1\ ,\ k=\left ( C+1 \right )^{2}\rightarrow k=\frac{\left ( p+1 \right )^{2}}{4}\left ( p\neq 2 \right )$

MiMi1376 · 1392/8/16

پاسخ : راهنمایی های سوال های بدون جواب تئوری اعداد صفا

پاسخ پرسش 211 هم اینجاست

HNahari · 1392/8/18

پاسخ : راهنمایی های سوال های بدون جواب تئوری اعداد صفا

پاسخ پرسش 17)

$P^{3}\equiv p^{2}.p \equiv p ~(mod4)\\ p^{2}+q^{2}+r^{2}\equiv 1+1+1\equiv 3~ (mod4)\\ \Rightarrow p\equiv 3~ (mod4)~~(1)\\ p^{2}\mid q^{2}+r^{2} (2)\\ (1),(2)\Rightarrow p\mid q ,~~ p\mid r\\ \Rightarrow p=q=r \Rightarrow p=q=r=3$

Aria Keshtkar · 1392/9/8

پاسخ : راهنمایی های سوال های بدون جواب تئوری اعداد صفا

پاسخ پرسش 7 :

$R\left ( N \right )=4N+3\rightarrow R\left ( N \right )\equiv 2b+a\equiv 3\left ( mod\ 4 \right )\\ R\left ( N \right )=4N+3\rightarrow R\left ( N \right )\equiv a\equiv 4d+3\left ( mod\ 5 \right )\rightarrow a+d\equiv 3\left ( mod\ 5 \right )\\ R\left ( N \right )=4N+3\rightarrow d\geq 4a\geq 4$

حال حالات مجزّای زیر را در نظر می گیریم :

$1)a+d=3\rightarrow \left\{\begin{matrix} a=1,d=2\left ( d\ngeqslant 4a \right )\\ a=2,d=1\left ( d\ngeqslant 4a \right ) \end{matrix}\right.\\ 2)a+d=8\rightarrow \left\{\begin{matrix} \bigstar a=1,d=7\\ a=2,d=6\left ( d\ngeqslant 4a \right )\\ a=3,d=5\left ( d\ngeqslant 4a \right )\\ a=4,d=4\left ( d\ngeqslant 4a \right )\\ a=5,d=3\left ( d\ngeqslant 4a \right )\\ a=6,d=2\left ( d\ngeqslant 4a \right )\\ a=7,d=1\left ( d\ngeqslant 4a \right ) \end{matrix}\right.\\ \bigstar \rightarrow b=1,5,9\overset{b\neq 1,5}{\rightarrow}c=9\rightarrow N=\overline{abcd}=1997\\ 3)a+d=13\rightarrow \left\{\begin{matrix} a=4,d=9\left ( d\ngeqslant 4a \right )\\ a=5,d=8\left ( d\ngeqslant 4a \right )\\ a=6,d=7\left ( d\ngeqslant 4a \right )\\ a=7,d=6\left ( d\ngeqslant 4a \right )\\ a=8,d=5\left ( d\ngeqslant 4a \right )\\ a=9,d=4\left ( d\ngeqslant 4a \right ) \end{matrix}\right.\\ 4)a+d=18\rightarrow a=9,d=9\left ( d\ngeqslant 4a \right )$

که به وضوح تنها پاسخ این پرسش

$1997$

می باشد.

پاسخ پرسش 62 :

$xy+yz+zx-xyz=2\ ,\ \left ( x,y,z \right )\rightarrow \left ( a+1,b+1,c+1 \right )\rightarrow \sum \left \left (( a+1 \right )\left ( b+1 \right ) \right )-\left ( a+1 \right )\left ( b+1 \right )\left ( c+1 \right )=2\rightarrow a+b+c=abc \rightarrow \frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}=1\ ,\ \left ( ab,bc,ca \right )\rightarrow \left ( d,e,f \right )\rightarrow \frac{1}{d}+\frac{1}{e}+\frac{1}{f}=1\rightarrow \frac{3}{d}\geq 1\rightarrow d\leq 3\\ d=3\rightarrow \frac{1}{e}+\frac{1}{f}=\frac{2}{3}\rightarrow \frac{2}{f}\geq \frac{2}{3}\rightarrow f\leq 3\rightarrow \left ( d,e,f \right )=\left ( 3,3,3 \right )\\ d=2\rightarrow \frac{1}{e}+\frac{1}{f}=\frac{1}{2}\rightarrow \frac{2}{f}\geq \frac{1}{2}\rightarrow f\leq 4\rightarrow \left ( d,e,f \right )=\left \{ \left ( 2,6,3 \right ),\left ( 2,4,4 \right ) \right \}$

که در پاسخ فوق از

$z\geq y\geq x\rightarrow c\geq b\geq a\rightarrow e\geq f\geq d$

استفاده شده است. حال دو حالت

$\left ( d,e,f \right )=\left \{ \left ( 3,3,3 \right ),\left ( 2,4,4 \right ) \right \}$

از آن جایی که در آنان

$\left ( abc \right )^{2}=27,32$

هست ، حذف می شوند و تنها حالت باقی مانده

$\left ( d,e,f \right )=\left ( 2,6,3 \right )$

است که به وضوح نتیجه می دهد

$\left ( x,y,z \right )=\left \{ \left ( 1,1,1 \right ),\left ( 2,3,4 \right ) \right \}$

.

پاسخ پرسش 80 :

$p\mid qr-1\ ,\ p\mid p\left ( q+r \right )\rightarrow p\mid \sum pq-1\\ q\mid rp-1\ ,\ q\mid q\left ( r+p \right )\rightarrow q\mid \sum pq-1\\ r\mid pq-1\ ,\ r\mid r\left ( p+q \right )\rightarrow r\mid \sum pq-1\\ \rightarrow pqr\mid \sum pq-1\rightarrow pqr\leq \sum pq-1\rightarrow pqr+1\leq \sum pq\rightarrow 1+\frac{1}{pqr}\leq \sum \frac{1}{p}\rightarrow \left ( p,q,r \right )=\left ( 2,3,5 \right )$

پاسخ پرسش 96 :
معادله را به پیمانه ی 11 چک کنید که به وضوح حکم را نتیجه می دهد.

پاسخ پرسش 123 : (پرسش قشنگیه.)

$a^{2}+ab+b^{2}=c^{2}+cd+d^{2}\rightarrow \left ( a+c \right )\left ( a+d \right )=a^{2}+ac+ad+cd=c^{2}+cd+d^{2}+ac+ad+cd-b^{2}-ab= \left ( ac+ad-ab \right )+\left ( bc+bd-b^{2} \right )+\left ( c^{2}+cd-bc \right )+\left ( d^{2}+cd-bd \right )=\left ( a+b+c+d \right )\left ( c+d-b \right )\rightarrow a+b+c+d\notin \mathbb{P}$

پاسخ پرسش 130 :

$a+b+c=111\rightarrow a\left ( 1+q+q^{2} \right )=3.37\\ 1)a=3\rightarrow q=\frac{-1\pm \sqrt{145}}{2}\\ 2)a=37\rightarrow q=1,-2\overset{q\neq -2}{\rightarrow}q=1\rightarrow \left ( a,b,c \right )=\left ( 37,37,37 \right )$

پاسخ پرسش 132 :
دو حالت مجزّای زیر را در نظر می گیریم :

$1)n=2k\rightarrow 6^{n}-1\equiv 6^{2k}-1\equiv 0\ \left ( mod\ 7 \right )\ ,\ 7^{n}-1\equiv 6\ \left ( mod\ 7 \right )\\ 2)n=2k+1\rightarrow 6^{n}-1\equiv 6^{2k+1}-1\equiv 0\ \left ( mod\ 5 \right )\ ,\ 7^{n}-1\equiv 7^{2k+1}-1\equiv 1,2\ \left ( mod\ 5 \right )$

پس این بخش پذیری به ازای هیچ عدد طبیعی برقرار نیست.

پاسخ پرسش 138 :

$m^{3}-4mn^{2}=8n^{3}-2m^{2}n\rightarrow \left ( m+2n \right )^{2}\left ( m-2n \right )=0\rightarrow \left ( m,n \right )=\left ( \pm 2k,k \right )\left ( k\in \mathbb{Z} \right )\\ m+n^{2}=3\rightarrow n^{2}\pm 2n-3=0\rightarrow \left ( m,n \right )=\left \{ \left ( 2,\pm 1 \right ),\left ( -6,\pm 3 \right ) \right \}$

پاسخ پرسش 203 :

$\left ( 512,675,720 \right )=\left ( A,B,C \right )=\left ( 2^{9},3^{3}5^{2},2^{4}3^{2}5 \right )\rightarrow 2C^{2}=3AB\rightarrow A^{3}+B^{3}+C^{3}=A^{3}+B^{3}+\left ( -C \right )^{3}-3AB\left ( -C \right )=\left ( A+B-C \right )\left ( A^{2}+B^{2}+\left ( -C \right )^{2}-AB+AC+BC \right )$

که به وضوح هر دو عامل از یک بزرگترند پس عدد فوق عددی مرکّب است.

پاسخ پرسش 212 :

$2x^{2}+5y^{2}=11\left ( xy-11 \right )\rightarrow 2x^{2}-11xy+5y^{2}=-11^{2}\rightarrow \left ( x-5y \right )\left ( 2x-y \right )=-11^{2}$

که با در نظر گرفتن حالات مختلف ، تنها پاسخ این پرسش

$\left ( x,y \right )=\left ( 14,27 \right )$

می باشد.

mamadaz · 1393/10/30

پاسخ : راهنمایی های سوال های بدون جواب تئوری اعداد صفا

میشه جواب بقیه سوالا رو هم بزاری:1:

Dadgarnia · 1393/10/30

پاسخ : راهنمایی های سوال های بدون جواب تئوری اعداد صفا

mamadaz گفت

اگه شما حداقل يه هفته روي يه سوال فكر كردين و حل نشد بياين اينجا سوالو بذارين دوستان جواب ميدن.

راهنمایی های سوال های بدون جواب تئوری اعداد صفا

n_maths

New Member

Aria Keshtkar

New Member

MiMi1376

New Member

Mostafa_

New Member

n_maths

New Member

n_maths

New Member

Aria Keshtkar

New Member

MiMi1376

New Member

HNahari

New Member

Aria Keshtkar

New Member

mamadaz

New Member

Dadgarnia

New Member