نامساوی دو متغیره

mmahdit · 1393/9/3

$n$

عددی صحیح و مثبت و عددی حقیقی است. ثابت کنید

$(1+x)^{n+1}\geq \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n}x$

REZA 73 · 1394/5/15

پاسخ : نامساوی دو متغیره

mmahdit گفت

اگه

$x\rightarrow -\infty$

و

$n$

زوج باشه که نامساوی اشتباهه. پس فرض میکنیم:

$x\geq 0$

تعریف میکنیم :

$f(x)=(1+x)^{n+1}-\frac{(n+1)^{n+1}}{n^n}x$

$f{}'(x)=(n+1)(1+x)^{n}-\frac{(n+1)^{n+1}}{n^n}$

$\rightarrow f{}'(x)=0\Rightarrow x=\frac{1}{n}$

با جایگذاری

$x=\frac{1}{n}$

در

$f(x)$

میشه به راحتی فهمید که مینیمم موضعی

$f(x)$

برابر صفر هست.پس نامساوی اثبات شده.

به ازای

$0\geq x\geq -1$

هم نامساوی به وضوح برقراره.

***با عرض پوزش اگه یه پست قدیمی رو بالا آوردم!***:65: