سوالی از لیتوانی 2006 (ترکیبیات)

[Goharshady]

ثابت کنید در هر چندضلعی (حداقل 4 ضلعی) قطری وجود دارد که کاملا درون آن قرار می گیرد و یک مثلث از چند ضلعی جدا می کند.

 

[mimilad]

برای اثبات حکم نشان میدهیم یک قطر است که کاملا دردرون n ضلعی قرار گرفته است و این معادل حککم مسئله میباشد و برای اثبات هم به راحتی میتوان به طورت استقرایی عمل کرد یعنی اول این قطر در درون n ضلعی را کشید و سپس n ضلعی به دو k و s ضلعی تقسیم خواهد شد که برای ان ها نیز دوباره قطری را که کاملا در درون ان ها است میکشیم (بنابر فرض استقرا وجود دارد ) و........... و به وضوح با نعداد متناهی مرحله به یک مثلث خواهیم رسید که از n ضلعی جدا شده است .
پس برای اثبات حکم کافی است نشان دهیم یک قطر وجوددارد که کاملا در درون n ضلعی است برای این اثبات به این نکته توجه میکنیم که اگر یک قطر کاملا در درون n ضلعی قرار نگرفته باشد باشد حداقل یک ضلع را قطع کند پس بنابر لانه کبوتری حداقل یک ضلع n+1/2 بار قطع شده است حال این خط را ab مینامیم و به وضوح چون در n+1/2 حداقل برابر با 3 است پس در یک طرف از این خط ab باید بیش از یک نقطه و حداقل 2 نقطه قرار گرفته باشد . حال a را به نزدیکترین این n نقطه به ان وصل میکنیم اگر این پاره خط به وجود امده ضلع n ضلعی باشد ان گاه b را به ان نقطه وصل میکنیم (این نقطه را i نام گداری میکنیم ) اگر نقطه ای درون مثلث iab قرار نگرفته باشد قطر ba خاصیت مسئله را دارد پس یک نقطه قرار دارد حال برای نقطه موجود در مثلث iab نیز همین خاصیت وجود دارد و ............ پس در این طرف از ab باید بی شمار نقطه وجود داشته باشد و میدانیم حداکثر تعداد نقاط در یک طرف از خطab حداکثر n+1/2 است پس حکم اثبات شد .

از این موضوع میتوان برای مثلث بندی هر n ضلعی نیز استفاده کرد . (منظورم واسه اثباتش است )

 

[Aref]

پاسخ : سوالی از لیتوانی 2006 (ترکیبیات)

برای اثبات حکم نشان میدهیم یک قطر است که کاملا دردرون n ضلعی قرار گرفته است و این معادل حککم مسئله میباشد و برای اثبات هم به راحتی میتوان به طورت استقرایی عمل کرد یعنی اول این قطر در درون n ضلعی را کشید

از کجا میدونی چند ضلعی یه قطر داره که کاملا درونش قرار داره؟
البته باید ذکر میشد که چند ضلعی سادس، ولی در این صورت هم بدیهی نیست.

 

[mimilad]

پاسخ : سوالی از لیتوانی 2006 (ترکیبیات)

خوب در ادامه مطلب همین رو اثبات کردم دیگه . در واقع این جمله رو نوشتم که بگم کافیه اینو اثبات کنیم و مسئله حل میشه و بعد اثباتش کردم . (چند ضلعی هم که باید ساده باشد )

 

[Aref]

پاسخ : سوالی از لیتوانی 2006 (ترکیبیات)

پس در یک طرف از این خط ab باید بیش از یک نقطه و حداقل m نقطه قرار گرفته باشد

ok. ولی این تیکه ی بالایی درست نیست.

 

[mimilad]

پاسخ : سوالی از لیتوانی 2006 (ترکیبیات)

اره اینجاش رو میخواستم ویرایش کنم بعد دیدم حوصله ندارم ولش کردم . ولی حالا چشم ویرایش میکنم .(این مشکل تقصیر کیبردمه داغونه قبلا فک کنم نوشتم که چه جوری کار میکنه . )