پارادوکس چرخ ارسطو

[s-hossein]

سلام

​

​

دو چرخ با شعاع های متفاوت ولی هم محور داریم. اگر چرخ بزرگتر را روی سطحی بغلتانیم چرخ کوچکتر نیز همراه آن خواهد چرخید. و بلعکس اگر چرخ کوچکتر را روی میله ای که موازی با سطح است بغلتانیم چرخ بزرگتر نیز خواهد چرخید. اگر چرخ بزرگتر یک دور کامل بزند چرخ کوچکتر نیز دقیقا" یک دور خواهد زد. و بلعکس اگر چرخ کوچکتر یک دور کامل بزند چرخ بزرگتر نیز یک دور خواهد زد. همان طور که می بینید از روی شکل نیز این موضوع کاملا" مشخص است. حال اگر شما مسیر حرکت دو چرخ را بر روی یک صفحه رسم کنید دو خط موازی به یک اندازه خواهید داشت. در صورتی که می دانیم دو چرخ با شعاع های متفاوت دارای محیط های نابرابری هستند.
پس چگونه ممکن است دو دایره با محیط های نابرابر مسافت های برابری را طی کنند؟ این پارادوکس که به "پارادوکس چرخ ارسطو" معروف است. ۳۲۰ سال قبل از میلاد در کتابی یونانی شرح داده شده است. و قرن ها ذهن ریاضی دانان دنیا را به خود معطوف کرده است.

 

[Seyed Amir Hosseini]

پاسخ : پارادوکس چرخ ارسطو

خب ببينيد به وضوح مشخصه كه چرخ بزرگ تر با سرعت بيشتري مي چرخه . ببينيد كاملا مشخصه اگه چرخ كوچك تر را روي زمين بقلطانيم مسافت كمتري را طي مي كند . ولي چرا در اين وضعيت مسافت يكساني را طي مي كنند. براي اينكه چرخ با سرعت كمتري نسبت به حالتي كه رو زمينه مي چرخه. يعني اگر اين حالت را روي زمين در نظر بگيريم معادل حالتيه كه چرخ روي زمين هم بچرخه هم ليز بخوره و به طور كامل نچرخه. يعني در اصل اين چرج به طور ناقص مي چرخه . حالا به حرفم دقت كنيد. فرض كنيد اين حالت روي زمين باشه. چرخ هم مي چرخه هم ليز مي خوره. حالا فرض كنيد اين چرخ رنگي باشه. در اين حالت اثري كه اين رنگ به جا مي ذاره معرف شعاع نيست چرا كه مقداري از حركت چرخ در حال ليز خوردنه. يعني رنگ روي زمين كشيده ميشه. مثل اينه كه سر مدادو ميذاريد رو كاغذو ميكشيد . مثل اينه كه شما ته يه توپي را رنگي كنيد و تهشو رو زمين بكشيد خب معلومه كه چرخ هيچ حركتي نكرده و به حالت سر خوردن اثر گذاشته رو زمين. حالا تو اين چرخ هم چون هم حركت دوراني داريم هم ليز خوردن اثري كه توپ به جا مي ذاره بيشتر محيطشه.
ببخشيد يكمي قضيه را پيچوندم توجيه حرفم سخته اميدوارم بفهميد. برا تصور اين حالت فرض كنيد يه توپو روي يخ به حركت در بياريد.
و علت اينكه چرخ به طور واقعي نمي چرخه اينه كه به طور مستقل نمي چرخه و وابسته به چرخه بزرگ تره

 

[s-hossein]

پاسخ : پارادوکس چرخ ارسطو

سلام
ممنون ازتون
خب کل حرف شما اینه که چرخ کوچک هم میغلته و هم میلغزه
خب این حالت رو در نظر بگیریم جفت چرخا با سرعت زاویه ای ثابت حرکت میکنند طبیعیه که سرعت مماسی کوچکه از بزرگه کمتره
ولی مثلا پس از گذشت زمان tهر دو به اندازه ی تتا میچرخن
ولی بازم یه چیزی میمونه اینکه سرعت مماسی چرخ بزرگه بیشتره و در این شرایط اگر سرعت چرخ کوچکه فقط از دوران تامین بشه باید
جا بمونه از جاش!!
پس نتیجه اینه که باید لغزشی هم داشته باشه

 

[Seyed Amir Hosseini]

پاسخ : پارادوکس چرخ ارسطو

سلام
ممنون ازتون
خب کل حرف شما اینه که چرخ کوچک هم میغلته و هم میلغزه
خب این حالت رو در نظر بگیریم جفت چرخا با سرعت زاویه ای ثابت حرکت میکنند طبیعیه که سرعت مماسی کوچکه از بزرگه کمتره
ولی مثلا پس از گذشت زمان tهر دو به اندازه ی تتا میچرخن
ولی بازم یه چیزی میمونه اینکه سرعت مماسی چرخ بزرگه بیشتره و در این شرایط اگر سرعت چرخ کوچکه فقط از دوران تامین بشه باید
جا بمونه از جاش!!
پس نتیجه اینه که باید لغزشی هم داشته باشه

بله دقيقا براي درك بهترم ميشه گفت كه فرض كنيد چرخ كوچك به اندازه يك نقطه كوچيك باشه به طوري كه محيط بسيار به صفر نزديك بشه. در اين حالت حركت دوراني نداريم و نقطه در طول اين مسير فقط كشيده ميشه

 

[J.Karimi]

پاسخ : پارادوکس چرخ ارسطو

حرف دوستمون كاملا درسته چون توجه كنيد كر چرخ كوچيكه علاوه بر حركتي كه اندازه محيطش داره مقداري حركت اون هم توسط چرخ بزرگتر انجام ميشه يعني اون چرخ بزرگتر چرخ كوچيك رو به سمت جلو منتقل مي كنه .