سهمی های غیر متقاطع

M_Sharifi · 1389/2/20

یه سوال:
آیا می توان گفت که برای هر دو سهمی غیر متقاطع، خطی وجود دارد که آن دو سهمی را قطع نمی کند؟

mehran88 · 1391/3/17

پاسخ : سهمی های غیر متقاطع

بله.

یا سوال خیلی خیلی راحته.

یا یه نکته ای داره که بهش توجه نمی کنیم

REZA_ZAREIE · 1391/3/17

پاسخ : سهمی های غیر متقاطع

دو حالت داره : يا همونطور كه شما ميگي خيلي خيلي راحته 2 : يا ما سوال رو درك نمي كنيم؟! البته حالت سومي هم داره و اون اينكه نويسنده منظورشو درس نرسونده؟!

SMASZOP · 1391/3/17

پاسخ : سهمی های غیر متقاطع

فکر می کنم میشه گفت دیگه!!

seyed iman · 1391/3/18

پاسخ : سهمی های غیر متقاطع

نمیشه گفت.

seyed iman · 1391/3/18

پاسخ : سهمی های غیر متقاطع

اینم یک عکس خوب
http://up.vatandownload.com/images/abkj74egjirbn4q6zcui.png

hkh74 · 1391/3/18

پاسخ : سهمی های غیر متقاطع

kaleiodoscope گفت

توی شکلی که کشیدید هیچ خطی وجود نداره که هیچ کدوم از سهمی ها رو قطع نکنه؟ (مثلا y=-1)

seyed iman · 1391/3/18

پاسخ : سهمی های غیر متقاطع

hkh74 گفت

این که قطع میکنه.راست میگی...

seyed iman · 1391/3/18

پاسخ : سهمی های غیر متقاطع

kaleiodoscope گفت

سعی کردم ثابت کنم که نمیشه..دو تا معادله سهمی و یک معادله خط نوشتم...برای هر کدوم از سهمی ها یک شرط از دلتای معادله داریم...
هر دوتاش اگر برقرار باشه>>همیشه میشه اون خطه رو کشید!
ولی یک حالت خاصی چیزی باید داشته باشه..
بلخره سوال آقای شریفیه دیگه!

mehran88 · 1391/3/18

پاسخ : سهمی های غیر متقاطع

شهودا که سوال راحتیه.

اما به نظر من شرط لازم واسه حل سوال اینه که محور تقارن دو سهمی یا باید با هم موازی باشند یا بر هم عمود باشند.درسته؟

mehran88 · 1391/3/18

پاسخ : سهمی های غیر متقاطع

kaleiodoscope گفت

باید دقت کنی که دو تا سهمی ای که داریم لزوما محور تقارنشون موازی با هم نیست که بتونی به راحتی با دلتا سوال رو جلو ببری.باید بررسی کنیم ببینیم محور تقارن دو تا سهمی چه زاویه هایی می تونند با هم بسازند.

پس باید از معادله کلی سهمی یا حتی ماتریس دوران استفاده کنیم.

H O S E I N · 1391/3/18

پاسخ : سهمی های غیر متقاطع

زوار که مثال نقض ارائه کرد دیگه ...

فکر کنم بحث تمومه ...

پ.ن : مهران ادامه بدی یهو دیدی زوار لینک داد ! پس ولش کن ... :17:

seyed iman · 1391/3/18

پاسخ : سهمی های غیر متقاطع

HAMILTON گفت

مثال تقضم غلط بود.
ما لینک میدیم...
بعضی متن لینکارو دستی مینویسن میزارن...
دیگه زندگیه دیگه.
:71:

hkh74 · 1391/3/18

پاسخ : سهمی های غیر متقاطع

جواب اینه که همواره چنین خطی وجود داره. در واقع حالت کلی تر اینه که اگر محور های دو سهمی موازی نباشن بدون توجه به متقاطع بودن یا نبودن میشه چنین خطی رسم کرد.
اثباتشم کاملا جبریه: فرض خلف: فرض کنید هر خطی حداقل یکی از دوتا سهمی رو قطع کنه.
محور های مختصات رو طوری انتخاب می کنیم که معادله ی سهمی اول به صورت

$ax^2$

باشه (که a>0). حالا تمام خط هایی رو پیدا می کنیم که با این سهمی برخورد نمی کنن. اگه خطمون

$y=mx+d$

باشه باید دلتای

$ax^2=mx+d$

کوچکتر از 0 باشه پس نمودارشون متقاطع نیست اگر و فقط اگر

$d\leq \frac{-m^2}{4a}$

.

حالا محور ها رو حول مبدا به اندازه

$\alpha$

پادساعتگرد دوران میدیم تا محور سهمی دوم موازی محور y جدید باشه. معادله ی خط

$y=mx+d$

رو که

$d\leq \frac{-m^2}{4a}$

در مختصات جدید به دست میاریم.
از این نکته استفاده می کنیم که اگر مختصات نقطه ی

$P(x,y)$

با دوران محورها به

$P(x',y')$

تبدیل بشه: (فکر کنم توی توماس هست)

$\\x=x'\cos\alpha-y'\sin\alpha\\y=x'\sin\alpha+y'\cos\alpha$

اگه این ها رو توی معادله خط جاگذاری کنیم به دست میاد:

$y'=\frac{m\cos\alpha-\sin\alpha}{m\sin\alpha+\cos\alpha}x'+\frac{d}{m\sin\alpha+\cos\alpha}\textbf{ (1)}$

که

$d\leq \frac{-m^2}{4a}$

فرض کنید معادله ی سهمی (دوم) دوران یافته برابر

$y'=sx'^2+rx'+t$

باشه(s>0). طبق فرض خلفمون و اینکه هیچ یک از خطوط (1) سهمی اول رو قطع نمی کنه پس هر یک از این خطوط با سهمی دوم برخورد داره. پس معادله ی زیر حداقل یک جواب حقیقی داره:

$\frac{m\cos\alpha-\sin\alpha}{m\sin\alpha+\cos\alpha}x'+\frac{d}{m\sin\alpha+\cos\alpha}=sx'^2+rx'+t$

پس دلتاش نامنفیه:

$\left (\frac{m\cos\alpha-\sin\alpha}{m\sin\alpha+\cos\alpha} -r \right )^2-4(s)\left (t-\frac{d}{m\sin\alpha+\cos\alpha} \right )\geq 0$

m حقیقی دلخواه بود؛ پس اگر m ای وجود داشته باشه که مخرج کسرها یعنی

$m\sin\alpha+\cos\alpha$

مثبت بشه، اونوقت چون d فقط از بالا کران داره میتونیم d رو بزرگ و منفی در نظر بگیریم و دلتا منفی میشه... تناقض!
پس چنین m ای وجود نداره و همواره

$m\sin\alpha+\cos\alpha\leq 0$

. خیلی راحت میتونید ببینید اگر

$\sin\alpha\neq 0$

میشه m رو به قدری بزرگ (منفی یا مثبت) در نظر گرفت که عبارت برقرار نباشه. پس

$\sin\alpha=0$

و

$\cos\alpha=\sin\alpha+\cos\alpha\leq 0$

پس دورانمون 180 درجه هست.

بنابراین میتونیم فرض کنیم معادله ی دو سهمی به صورت

$y_1=ax^2,y_2=b(x-c)^2+f$

است. این حالت هم خیلی ساده تره، میتونید مثل بالا خطوطی که با سهمی اول برخورد نمیکنن به دست بیارید و چون همه با دومی برخورد دارن، نتیجه بگیرید دو سهمی متقاطع اند.

seyed iman · 1391/3/18

پاسخ : سهمی های غیر متقاطع

hkh74 گفت

جواب اینه که همواره چنین خطی وجود داره. در واقع حالت کلی تر اینه که اگر محور های دو سهمی موازی نباشن بدون توجه به متقاطع بودن یا نبودن میشه چنین خطی رسم کرد.
اثباتشم کاملا جبریه: فرض خلف: فرض کنید هر خطی حداقل یکی از دوتا سهمی رو قطع کنه.
محور های مختصات رو طوری انتخاب می کنیم که معادله ی سهمی اول به صورت

$ax^2$

باشه (که a>0). حالا تمام خط هایی رو پیدا می کنیم که با این سهمی برخورد نمی کنن. اگه خطمون

$y=mx+d$

باشه باید دلتای

$ax^2=mx+d$

کوچکتر از 0 باشه پس نمودارشون متقاطع نیست اگر و فقط اگر

$d\leq \frac{-m^2}{4a}$

.

حالا محور ها رو حول مبدا به اندازه

$\alpha$

پادساعتگرد دوران میدیم تا محور سهمی دوم موازی محور y جدید باشه. معادله ی خط

$y=mx+d$

رو که

$d\leq \frac{-m^2}{4a}$

در مختصات جدید به دست میاریم.
از این نکته استفاده می کنیم که اگر مختصات نقطه ی

$P(x,y)$

با دوران محورها به

$P(x',y')$

تبدیل بشه: (فکر کنم توی توماس هست)

$\\x=x'\cos\alpha-y'\sin\alpha\\y=x'\sin\alpha+y'\cos\alpha$

اگه این ها رو توی معادله خط جاگذاری کنیم به دست میاد:

$y'=\frac{m\cos\alpha-\sin\alpha}{m\sin\alpha+\cos\alpha}x'+\frac{d}{m\sin\alpha+\cos\alpha}\textbf{ (1)}$

که

$d\leq \frac{-m^2}{4a}$

فرض کنید معادله ی سهمی (دوم) دوران یافته برابر

$y'=sx'^2+rx'+t$

باشه(s>0). طبق فرض خلفمون و اینکه هیچ یک از خطوط (1) سهمی اول رو قطع نمی کنه پس هر یک از این خطوط با سهمی دوم برخورد داره. پس معادله ی زیر حداقل یک جواب حقیقی داره:

$\frac{m\cos\alpha-\sin\alpha}{m\sin\alpha+\cos\alpha}x'+\frac{d}{m\sin\alpha+\cos\alpha}=sx'^2+rx'+t$

پس دلتاش نامنفیه:

$\left (\frac{m\cos\alpha-\sin\alpha}{m\sin\alpha+\cos\alpha} -r \right )^2-4(s)\left (t-\frac{d}{m\sin\alpha+\cos\alpha} \right )\geq 0$

m حقیقی دلخواه بود؛ پس اگر m ای وجود داشته باشه که مخرج کسرها یعنی

$m\sin\alpha+\cos\alpha$

مثبت بشه، اونوقت چون d فقط از بالا کران داره میتونیم d رو بزرگ و منفی در نظر بگیریم و دلتا منفی میشه... تناقض!
پس چنین m ای وجود نداره و همواره

$m\sin\alpha+\cos\alpha\leq 0$

. خیلی راحت میتونید ببینید اگر

$\sin\alpha\neq 0$

میشه m رو به قدری بزرگ (منفی یا مثبت) در نظر گرفت که عبارت برقرار نباشه. پس

$\sin\alpha=0$

و

$\cos\alpha=\sin\alpha+\cos\alpha\leq 0$

پس دورانمون 180 درجه هست.

بنابراین میتونیم فرض کنیم معادله ی دو سهمی به صورت

$y_1=ax^2,y_2=b(x-c)^2+f$

است. این حالت هم خیلی ساده تره، میتونید مثل بالا خطوطی که با سهمی اول برخورد نمیکنن به دست بیارید و چون همه با دومی برخورد دارن، نتیجه بگیرید دو سهمی متقاطع اند.

فقط یک چیزی رو در نظر نگرفتی...
این سوال آقای شریفیه!!
حتمن یک نکته دیگه داره.

سهمی های غیر متقاطع

M_Sharifi

راهبر ریاضی

mehran88

New Member

REZA_ZAREIE

Well-Known Member

SMASZOP

مشاور فیزیک

seyed iman

Well-Known Member

seyed iman

Well-Known Member

hkh74

New Member

seyed iman

Well-Known Member

seyed iman

Well-Known Member

mehran88

New Member

mehran88

New Member

H O S E I N

New Member

seyed iman

Well-Known Member

hkh74

New Member

seyed iman

Well-Known Member