حد

mrbayat · 1390/2/19

دو تا سوال:

1)

$\lim_{x \to 0^{+}}\frac{1-\cos \sqrt{2x}}{x^{3}+3x^{2}-2x}=?$

2)

$\lim_{x \to 0}\frac{(x+1)(x^2+1)...(x^{2^{4}}+1)-1}{x}=?$

M_Sharifi · 1390/2/20

پاسخ : حد

mrbayat گفت

1)

$\lim_{x\to 0^+}\frac{1-\cos{\sqrt{2x}}}{x^3+3x^2-2x}=\lim_{x\to 0^+}\frac{2\sin^2\frac{\sqrt{2x}}{2}}{x^3+3x^2-2x}=-\frac12\lim_{x\to 0^+}\left(\frac{\sin \frac{\sqrt{2x}}{2}}{\frac{\sqrt{2x}}{2}}\right)^2=-\frac12$

2)

$\lim_{x\to0}\frac{(x+1)(x^2+1)\cdots(x^{2^i}+1)-1}x=\lim_{x\to0}\frac{(x+1)-1}{x}=1$

zz_torna2 · 1391/3/6

پاسخ : حد

M_Sharifi گفت

این سوال رو از راه دیگر حل کردم ابتدا یه سوال داشتم:اونطوری که من متوجه شدم اقای شریفی ابتدا حد

$(x+1)(x^{2}+1)...(x^{2^{4}}+1)$

رو حساب کرده بعد در مرحله بعدی حد کل رو
.مگه چون حد مخرج 0 شده (

$\lim_{x\rightarrow 0}x=0$

) قضیه تقسیم به حد اجازه میده به پشت

$(x+1)(x^{2}+1)...(x^{2^{4}}+1)$

برسه؟؟

راه خودم برای سوال 2: هوپیتال ولی چون مشتقگیری سخته کار زیرو میکنیم:

$y=(x+1)(x^{2}+1)...(x^{2^{4}}+1)\Rightarrow ln(y)=ln[(x+1)(x^{2}+1)...(x^{2^{4}}+1)]=ln(x+1)+ln(x^{2}+1)+...+ln(x^{2^{4}}+1)$

حالا مشتق میگیریم:

$\frac{{y}'}{y}=\frac{1}{x+1}+\frac{2x}{x^{2}+1}+...+\frac{16x^{15}}{x^{16}+1}$

پس خواهیم داشت:

${y}'=[\frac{1}{x+1}+\frac{2x}{x^{2}+1}+...+\frac{16x^{15}}{x^{16}+1}]y$

حال به حل می پردازیم:

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{(x+1)...(x^{2^{4}}+1)-1}{x}=\frac{0}{0}\overset{hop}{\rightarrow}\lim_{x\rightarrow 0}\frac{{y}'}{1}=$

$=\lim_{x\rightarrow 0}[\frac{1}{x+1}+\frac{2x}{x^{2}+1}+...+\frac{16x^{15}}{x^{16}+1}]y=1$

پس حل شد.

1 رو هم هوپیتال+هم ارزی حل میشه:4:

M_Sharifi · 1391/3/6

پاسخ : حد

zz_torna2 گفت

من حد صورت رو حساب نکردم. می تونید این طوری نگاه کنید که عبارت

$(x+1)(x^{2}+1)...(x^{2^{4}}+1)$

زمانی که x به سمت صفر میره هم ارزه با x+1.

zz_torna2 · 1391/3/6

پاسخ : حد

M_Sharifi گفت

ببخشید رو حرف شما حرف میزنما!!:4: الان شما عبارت

$(x+1)(x^{2}+1)...(x^{2^{4}}+1)$

رو برداشتین و هم ارزش رو که x+1 است قرار دادین .فرض کنیم به ما گفتن حاصل حد

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sinx-x}{x^{3}}$

رو حساب کنیم .میدونیم جواب

$-\frac{1}{6}$

است (با هوپیتال) حالا اگه ما sinx رو برداریم و همارزشو یعنی x قرار دهیم حاصل حد 0 خواهد شد که اشباهه چون در قضیه تقسیم

شرطه اینکه حد مخرج مخالف 0 باشه رو داریم پس استفاده از هم ارزی غلطه البته بعضی اوقات تصادفا درست به جواب میرسیم ولی سوالاتی نظیر سوال من میشه طرح کرد که گیر بیفتیم.:4:

mehran88 · 1391/3/6

پاسخ : حد

zz_torna2 گفت

البته تا موقعی که خود آقای شریفی آن میشن من یه جوابی میدم امیدوارم درست باشه.

استفاده از هم ارزی موقعی غلط میشه که حاصل حد صفر بشه.شما توی عبارتی که مثال زدید فقط 1 جمله از بسط سینوس رو جایگذاری کردید اما اگه تعداد جملات بیشتری جایگذاری کنید می بینید که دیگه حاصل حد صفر نمیشه.

من هم این رو از کسی شنیدم و دلیل قاطعی الان به ذهنم نمیرسه.آقای شریفی کمک کنید!!:79:

zz_torna2 · 1391/3/6

پاسخ : حد

mehran88 گفت

شما که میگین باید در مثالم کل بسط سینوسو مینوشتم من میخواستم طرز استفاده نادرست از هم ارزی رو بگم.در واقع بسط تیلور(سینوس) همان sinx است نه هم ارزش.( اضافه میکنم که گفته

شما درسته و در این سوال تا دو جمله بسط تیلورو بنویسیم کفایت میکنه

)

Aref · 1391/3/6

پاسخ : حد

zz_torna2 گفت

نه دیگه. اینجا ما درجه رو میدونیم. اون مثالی که شما زدی زیاد داری صرف نظر می کنی. باید تا سه مرتبه به دست بیاری. ولی از درجه چهار یا بیشتر میتونیم صرف نظر کنیم.

zz_torna2 · 1391/3/6

پاسخ : حد

Aref گفت

خوب به هر حال من بحثم روی اشباه استفاده از هم ارزیه نه بسط تیلور!

Aref · 1391/3/6

پاسخ : حد

zz_torna2 گفت

نه. هیچ اشتباهی وجود نداره. چون این جا مخرج از درجه ی یک هستش اون هم ارزی مساله رو می ترکونه. کسی از بسط تیلور حرفی نزد. تازشم بسط تیلور رو وقتی استفاده می کنی در واقع داری از هم ارزی استفاده می کنی (تو به دست آوردن حد و اینا).

seyed iman · 1391/3/6

پاسخ : حد

zz_torna2 گفت

Aref درست میگه.
ما وقتی حد رو محاسبه میکنیم باید بدونیم چقدر دقیق میخوایم.مثلن میدونیم sin x وقتی x کوچیک باشه حدودن صفره.ولی این بدرد ما نمیخوره!!ما میخوایم بیشتر بدونیم.و تو حد معمولن تا اولین مرتبه ی غیر صفره عاملی که کوچیک هست رو نگه میداریم چون صفر که به دردمون نمیخوره.مثلن اینجا تا مرتبه اول x نگه داشتیم و جواب صفر نشد.پس درسته.مثلن اگه یه جایی تا مرتبه اول صفر شد میریم سراغ مرتبه بعد.و....
اصلن هوپیتال همینه!!میگه یک مرتبه برید بالاتر.(عملن نسبت مشتق ها یعنی یک مرتبه بیشتر نگه داشتیم)

mehran88 · 1391/3/6

پاسخ : حد

zz_torna2 گفت

هم ارزی ای هم که آقای شریفی استفاده کردن منجر به صفر شدن نشده

اما دلیلش باید جالب باشه که این صفره قضیه ش چیه!!

Aref · 1391/3/6

پاسخ : حد

و به مخرجمون هم نگاه میکنیم که بدونیم تا چه مرتبه ای رو باید نگه داریم.

zz_torna2 · 1391/3/6

پاسخ : حد

Aref گفت

گیریم درست باشه .به من میتونی توزیح بدی که چه طوری از هم ارزی استفاده شده یا بگو چه طور حد خودشو به پشت اون عبارت رسونده(با توجه به قضایای مجوده با دلیل بگو)( مگه اینکه بگی لازم نیست حد به پشت اون برسه که کاملا اشتباه است!!)

mehran88 · 1391/3/6

پاسخ : حد

اصلا چرا سوسک رو با تانک می کشیم!!!

$\Leftrightarrow \lim_{x\rightarrow 0}\frac{x^{32}-1-x+1}{x(x-1)}=1$

$\lim_{x \to 0}\frac{(x+1)(x^2+1)...(x^{2^{4}}+1)-1}{x}=?$

M_Sharifi · 1391/3/6

پاسخ : حد

Aref گفت

کاملا قانع کننده است. شما باید از هم ارزی با توجه به ارزش جملات استفاده کنید. مثلا توی این سوال، توی صورت، جملات x[SUP]2[/SUP] تا x[SUP]31[/SUP] هم تولید میشه که با توجه به جمله ی x مخرج، زمانی که x به سمت صفر میره، قابل صرف نظر کردنه و یه هم ارزی درست به ما میده. نیازی به کشف یه قاعده برای استفاده از هم ارزی نیست. شما باید به صورت منطقی استدلال کنید، همین.

zz_torna2 · 1391/3/6

پاسخ : حد

M_Sharifi گفت

اگه این طور استدلال کردین دیگه حقیقتا از هم ارزی استفاده نکردین!! و فقط ظهنی پرانتزا رو باز کردین و بر x تقسیم کردین و حد گرفتین:4: ولی اگه با مفهوم هم ارزی بخواهیم جلو بریم قضیه تقسیم نمی ذاره!!

.برای اینکه هیچ شکی در استفاده اشتباه از هم ارزی نداشته باشیم به حاصل حد زیر توجه کنید:

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{(x+1)(x^{2}+1)...(x^{16}+1)-1}{x+1}$

که با هوپیتال جوابش 1 میشه که در درستیش شکی نیست:4

ایده اش همان Ln گیری است) ولی اگه از همون راه اشتباه هم ارزی

بریم به جواب 0 می رسیم!!

حالا چی میگین!!!!!:4::4:

mehran88 · 1391/3/6

پاسخ : حد

zz_torna2 گفت

چقدر اذیت می کنید!!!

متاسفانه جوب زدید.
این حدی که نوشتید اصلا صفر صفرم نمیشه که رفع ابهام بخواد!!! همون صفر رو جایگذاری کنیم حاصل حد بدست میاد!!!این جا اصلا و ابدا نباید رفع ابهام کنیم!!اصلا اثبات هوپیتال با فرض حالت صفر صفرم صورت میگیره!!(تعمیمش واسه بی نهایت اینا هم هست)
کوتاه ترین و بی شبهه ترین راه همونیه که من نوشتم.راه آقای شریفی خیلی کوتاه بود ولی هر کسی باهاش قانع نمیشه!!راه شما هم خیلی قشنگ بود ولی واسه اینجور سوالا نباید سوسک رو با موشک کروز زد!!!:69:

اصلا چرا سوسک رو با تانک می کشیم!!!

$\Leftrightarrow \lim_{x\rightarrow 0}\frac{x^{32}-1-x+1}{x(x-1)}=1$

$\lim_{x \to 0}\frac{(x+1)(x^2+1)...(x^{2^{4}}+1)-1}{x}=?$

zz_torna2 · 1391/3/7

پاسخ : حد

راست میگی .عجب جوبی زدم !!!!:4::4: .به هر حال از همتون تشکر میکنم ولی باز هم شک دارم:4::227::227::4:

حد

mrbayat

New Member

M_Sharifi

راهبر ریاضی

zz_torna2

New Member

M_Sharifi

راهبر ریاضی

zz_torna2

New Member

mehran88

New Member

zz_torna2

New Member

Aref

New Member

zz_torna2

New Member

Aref

New Member

seyed iman

Well-Known Member

mehran88

New Member

Aref

New Member

zz_torna2

New Member

mehran88

New Member

M_Sharifi

راهبر ریاضی

zz_torna2

New Member

mehran88

New Member

zz_torna2

New Member