ماراتن ریاضی 2

rezashiri · 1390/2/23

سلام.

این ماراتن مخصوص امتحان ترم؟!؟

هر کسی سوال جالب از ریاضی 2 داره بذاره...

مبحث مهم نیست .

شماره سوال هم حتما بزنید.

خودم شروع می کنم:

${\color{DarkOrange} 1}$

الف) اگر تابع

$f(x+y)=f(x)+f(y)-2f(xy)$

برای اعداد حقیقی تعربف شود حاصل

$f(1390)$

را بیابید.

ب) اگر

$f(sin(x))+2f(cos(x))=2sin^2(x)$

حاصل

$f(x)$

را بیابید.

M_Sharifi · 1390/2/23

پاسخ : ماراتن ریاضی 2

$2$

اگر

$\alpha,\beta$

ریشه های معادله ی

$x^2-2x-7=0$

باشند حاصل

$(\alpha-2)^{-3}+(\beta-2)^{-3}$

را به دست آورید.

rezashiri · 1390/2/23

پاسخ : ماراتن ریاضی 2

M_Sharifi گفت

فرض می کنیم :

$\alpha =1+\sqrt{8} , \beta =1-\sqrt{8}$

حال داریم :

$\frac{-1}{(\sqrt{8}+1)^{3}}+\frac{1}{(\sqrt{8}-1)^{3}}=\frac{-((\sqrt{8})^{3}-24+3\sqrt{8}-1)+((\sqrt{8})^{3}+24+3\sqrt{8}+1)}{7^3}$

$\Rightarrow \frac{50}{7^{3}}$

alimohammadi · 1390/2/23

پاسخ : ماراتن ریاضی 2

rezashiri گفت

به جاي اين كار ميتونيم از اين استفاده كنيم كه جمع آلفا وبتا برابر2 و ضرب انها -7 است سپس با نوشتن اتحاد به نتيجه اي مشابه برسيم

rezashiri · 1390/2/23

پاسخ : ماراتن ریاضی 2

کسی نمی خواد روی سوال 1 فکر کنه؟!؟

M_Sharifi · 1390/2/24

پاسخ : ماراتن ریاضی 2

M_Sharifi گفت

$\alpha^2-2\alpha-7=0\Rightarrow \alpha-2=\frac7{\alpha}\\ ~~~~~\Rightarrow (\alpha-2)^{-3}+(\beta-2)^{-3}=\frac{\alpha^3+\beta^3}{7^3}=\frac{(\alpha+\beta)^3-3\alpha\beta(\alpha+\beta)}{7^3}\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~=\frac{2^3+3\times2\times7}{7^3}=\frac{50}{7^3}$

M_Sharifi · 1390/2/24

پاسخ : ماراتن ریاضی 2

$3$

آیا

$4x^4+y^4-4xy+1=0$

یک تابع است؟ اگر تابع است، آیا یک به یک نیز هست؟ اگر پاسخ هر دو سوال مثبت است، وارون تابع را به دست آورید.

rezashiri · 1390/2/24

پاسخ : ماراتن ریاضی 2

M_Sharifi گفت

به این صورت تجزیش می کنیم :

$4x^4+y^4-4xy+1=0\Rightarrow (2x^2-y^2)^2+(2xy-1)^2=0$

حال داریم :

$\left\{\begin{matrix} 2x^2-y^2=0 \Rightarrow 2x^2=y^2 & \\ 2xy=1 \Rightarrow xy=\frac{1}{2}\Rightarrow (xy)^2=\frac{1}{4} & \end{matrix}\Rightarrow x=\sqrt[4]{\frac{1}{8}}\Rightarrow y=\sqrt{2}.\sqrt[4]{\frac{1}{8}}\right.$

پس تابع هست و یک به یک هم هست چون تنها یک x,y در آن صدق می کند.

پس وارونشم می شه :

$4y^4+x^4-4xy+1=0$

درسته؟!؟

M_Sharifi · 1390/2/24

پاسخ : ماراتن ریاضی 2

rezashiri گفت

قسمت اول تقریبا درست بود. ولی نوشتن قسمت دوم رو بهتره اون جوری انجام ندی:

$f:\left\{\left(\root{4}\of{\frac18},\root{4}\of{\frac12}\right),\left(-\root{4}\of{\frac18},-\root{4}\of{\frac12}\right)\right\}\\ ~~~~f^{-1}:\left\{\left(\root{4}\of{\frac12},\root{4}\of{\frac18}\right),\left(-\root{4}\of{\frac12},-\root{4}\of{\frac18}\right)\right\}$

M_Sharifi · 1390/2/24

پاسخ : ماراتن ریاضی 2

$4$

اگر

$x=\log_a{bc},~y=log_b{ca},~z=\log_a{ab}$

چه رابطه ای بین

$x,y,z$

برقرار است؟

rezashiri · 1390/2/24

پاسخ : ماراتن ریاضی 2

M_Sharifi گفت

آخریه

$z=log^{ab}_{c}$

نیست؟!؟

اگه اینه می شه :

$\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}=1$

M_Sharifi · 1390/2/24

پاسخ : ماراتن ریاضی 2

اشتباه تایپی بود.

rezashiri · 1390/2/24

پاسخ : ماراتن ریاضی 2

$5$

الف) اگر

$\alpha ,\beta$

ریشه های معادله

$x^{log(x)}=1000x^2$

باشد ، حاصل

$\alpha \beta$

را بیابید.

ب) اگر

$f(n)$

برابر مجموع n جمله اول دنباله زیر باشد :

$0,1,1,2,2,3,3,4,4,...$

1) فرمولی برای محاسبه

$f(n)$

بیابید.

2) ثابت کنید :

$f(s+t)-f(s-t)=st$

که

$s,t\in \mathbb{N} , s> t$

Olympiad · 1390/2/24

پاسخ : ماراتن ریاضی 2

${\color{Golden} 5}$

الف )

$x^{log(x)}=1000x^2\Rightarrow x^{log(x)-2}=1000\xrightarrow[]{x=2^\gamma \times5^\delta } \left\{\begin{matrix} \gamma (log(x)-2)=3 & & \\ \delta (log(x)-2)=3& & \end{matrix}\right.$

با توجه به اینکه

$\gamma ,\delta$

اعدادی صحیح هستند و با توجه به روابط بالا مساوی خواهند بود .... با چک کردن مقادیر

$\gamma ,\delta$

به ازای

$\left \{ 1,3,-1,-3 \right \}$

می توان جواب های

$\alpha =10^{-1},\beta =10^3$

را به دست آورد ....

ب)

1)

$\left \lfloor \frac{n^2+1}{4} \right \rfloor$

:36:

2 ) با توجه به 1 واضح است ....

rezashiri · 1390/2/24

پاسخ : ماراتن ریاضی 2

البته قسمت "الف" سوال قبل رو یه جور دیگه هم میشد حل کرد.

$6$

مجموعه های زیر از اعداد صحیح متوالی را در نظر بگیرید :

$(1),(2,3),(4,5,6),...$

اگر

$s_{n}$

برابر مجموع nاُمین مجموعه باشد ،

$s_{n}$

را بر حسب

$n$

بیابید.

Olympiad · 1390/2/24

پاسخ : ماراتن ریاضی 2

${\color{DarkRed} 6}$

$\frac{n(n^2+1)}{2}$

rezashiri · 1390/2/24

پاسخ : ماراتن ریاضی 2

از این به بعد هرکی یه سوال حل می کنه یه سوالم بذاره ...

ali_irysc · 1390/2/25

پاسخ : ماراتن ریاضی 2

7

$\log _{5}6$

بزرگ تره یا

$\log _{3}4$

این 7 من چرا این طوری شد ؟

M_Sharifi · 1390/2/25

پاسخ : ماراتن ریاضی 2

refresh گفت

$\log_34=\log_{81}{256}>\log_{125}{216}=\log_56$

$8$

در معادله ی

$ax^3+bx^2+cx+d=0$

چه رابطه ای بین ضرایب باید برقرار باشد تا ریشه ها تشکیل یک تصاعد حسابی دهند؟

ali_irysc · 1390/2/25

پاسخ : ماراتن ریاضی 2

9

$\log _{17}299$

بزرگتزه یا

$\log _{13}155$

ماراتن ریاضی 2

Well-Known Member

راهبر ریاضی

Well-Known Member

New Member

Well-Known Member

راهبر ریاضی

راهبر ریاضی

Well-Known Member

راهبر ریاضی

راهبر ریاضی

Well-Known Member

راهبر ریاضی

Well-Known Member

New Member

Well-Known Member

New Member

Well-Known Member

New Member

راهبر ریاضی

New Member