یک مسئله ی هندسه بهینه سازی

[combinatorics]

یک مسئله هندسه دارم. ممنون میشم اگه حلش کنید.
فرض کنید تو تعطیلات به کنار یک رودخونه وفتیم. یک طناب به طول x داریم. می خواهیم شکلی در کنار رودخانه با طناب ایجاد کنیم.(توجه کنید قسمتی از محیط شکل را می تواند یک طرف رودخانه در بر بگیرد.) بیشترین مساحتی که می توانیم ایجاد کنیم، توسط چه شکلی است و چه مساحتی دارد. مثلا اگر یک نیم دایره ایجاد کنیم که قطر آن را با رودخانه و محیط آن را با طناب بسازیم، مساحت آن برابر با x^2 تقسیم بر عدد پی خواهد بود.

 

[bgo]

پاسخ : یک مسئله ی هندسه بهینه سازی

به قول خودتون اینم سوال خیلی معروفیه فک کنم واسه همین کسی جواب نمیده...............

فک کنم همون نیم دایره میشه چون اگه اون شکل رو نسبت به اون خطه قرینه کنید یه شکل با محیط 2x و مساحت دو برابر میشه که باید ماکزیمم اینو پیدا کنیم که دایره میشه (این آخریه یه قضیه معروفه)

 

[combinatorics]

پاسخ : یک مسئله ی هندسه بهینه سازی

به قول خودتون اینم سوال خیلی معروفیه فک کنم واسه همین کسی جواب نمیده...............

فک کنم همون نیم دایره میشه چون اگه اون شکل رو نسبت به اون خطه قرینه کنید یه شکل با محیط 2x و مساحت دو برابر میشه که باید ماکزیمم اینو پیدا کنیم که دایره میشه (این آخریه یه قضیه معروفه)

میشه یکم بیشتر توضیح بدی. چون من به حل این مسئله خیلی احتیاج دارم.

 

[bgo]

پاسخ : یک مسئله ی هندسه بهینه سازی

وقتی شکلی که با محیط ثابت بیشترین مساحت رو داره رو نسبت به خط قرینه میکنید یه شکلی به دست میاد که محیط و مساحتش دو برابر میشه حالا یه شکل داریم با محیط 2x که مساحتش ماکزیمم شده که میدونیم باید این شکل حداقل یه محور تقارن داشته باشه که تو شرایط مساله صدق کنه و طبق اون قضیه یه شکل با محیط ثابت بیشترین مساحتش وقتیه که دایره باشه که چون محور تقارن هم داره پس تو مساله صدق میکنه..............

 

[combinatorics]

پاسخ : یک مسئله ی هندسه بهینه سازی

من همون قضیه را می خوام. میشه صورتش رو بنویسی؟

 

[goodarz]

پاسخ : یک مسئله ی هندسه بهینه سازی

(با اجازه از بهزاد عزیز) از بین اشکال با محیط برابر, دایره بیش ترین مساحت رو داره.

 

[rezashiri]

پاسخ : یک مسئله ی هندسه بهینه سازی

(با اجازه از بهزاد عزیز) از بین اشکال با محیط برابر, دایره بیش ترین مساحت رو داره.

این قضیه چطوری ثابت می شه؟!

 

[bgo]

پاسخ : یک مسئله ی هندسه بهینه سازی

برای n ضلعی ها ثابت کنید بعد n رو ببرید سمت بی نهایت...............

 

[Sahand-Gh]

پاسخ : یک مسئله ی هندسه بهینه سازی

برای n ضلعی ها ثابت کنید بعد n رو ببرید سمت بی نهایت...............

میشه بیشتر توضیح بدین؟

 

[goodarz]

پاسخ : یک مسئله ی هندسه بهینه سازی

یعنی ثابت کنید بین همه n ضلعی ها با محیط یکسان, n ضلعی منتظم بیش ترین مساحت رو داره.