یه اشکال تو روش نیوتن برای محاسبه ریشه

[MR.Amin]

میدونیم روش نیوتن برا محاسبه ریشه همون خطی سازیه....

حالا فرض کنید تابع f شرایط رو داره (یعنی هم پیوسته ست و هم مشتق پذیر)

حالا اگه تابع f طوری باشه که اگه نقطه x رو نقطه شروع بگیریم و با خطی سازی به x* برسیم و برای ادامه کار x* رو درنظر بگیرم دوباره به به x برسیم و .....

حالا چرا تابع f با داشتن شرایط قضیه نیوتن نمیشه ریشه رو بدست آورد...

(((البته با شکل راحتتر میشه متوجه سوال شد ولی نمیدونم چجوری شکل بکشم! اگه کسی میدونه یگه بکشم واسه واضح تر شدن سوال!)))

 

[MR.Amin]

پاسخ : یه اشکال تو روش نیوتن برای محاسبه ریشه

http://aer.net78.net/photos/9c0b9d84c2a1.png

اينم يه عكس تقريبي...

 

[hkh74]

پاسخ : یه اشکال تو روش نیوتن برای محاسبه ریشه

درسته، بعضی اوقات دنباله ی

ها متناوب میشه و حدی نداره.

در این مواقع باید

رو عوض کنین.

یک سوال، آیا تابعی وجود داره که در همه ی نقاط با روش نیوتن نشه ریشه هاش رو به دست آورد؟

 

[hkh74]

پاسخ : یه اشکال تو روش نیوتن برای محاسبه ریشه

مثالی که گفتم:

جالبه که این تابع به ازای هیچ

ای ریشه رو تحویل نمیده!

نمودار این تابع: http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+|x|%2Fx*sqrt(|x|)+%2C-5<x<5
در واقع این تابع یکی از جواب های معادله دیفرانسیل

هست.

 

[mehran88]

پاسخ : یه اشکال تو روش نیوتن برای محاسبه ریشه

مثالی که گفتم:

جالبه که این تابع به ازای هیچ

ای ریشه رو تحویل نمیده!

نمودار این تابع: plot |x|/x*sqrt(|x|) ,-5<x<5 - Wolfram|Alpha
در واقع این تابع یکی از جواب های معادله دیفرانسیل

هست.

میشه گفت کلا توابعی که نسبت به ریشه شون تا بازه ای که ما x0 رو تعیین می کنیم متقارن هستند همین مشکلات عدم همگرایی و بدهمگرایی به ریشه رو دارند؟
مثلا x^3=0 با نیوتون بعد بینهایت بار تکرار ریشه رو تحویل میده.

 

[hkh74]

پاسخ : یه اشکال تو روش نیوتن برای محاسبه ریشه

میشه گفت کلا توابعی که نسبت به ریشه شون تا بازه ای که ما x0 رو تعیین می کنیم متقارن هستند همین مشکلات عدم همگرایی و بدهمگرایی به ریشه رو دارند؟
مثلا x^3=0 با نیوتون بعد بینهایت بار تکرار ریشه رو تحویل میده.

توابعی که متقارن هستن لزوما دنباله ی x_i اون ها متناوب نمیشه، مثلا x^3 دنبالش متناوب نمیشه، اما این که میگین بعد بینهایت بار ریشه رو تحویل میده درسته... البته این هم مشکلی نیست، میشه با محاسبه ی حد دنباله خود ریشه رو به دست آورد (البته اگر حد قابل محاسبه باشه)

فکر کنم روش نیوتن در اکثر مواقع ریشه رو بعد از بینهایت بار تکرار تحویل میده.

 

[MR.Amin]

پاسخ : یه اشکال تو روش نیوتن برای محاسبه ریشه

خب چرا اينجوريه؟؟؟

اينا كه شرايط رو دارن!!!!!!!

 

[seyed iman]

پاسخ : یه اشکال تو روش نیوتن برای محاسبه ریشه

یک نکته است.اینا تا یه جایی جواب میده.یعنی تا یک شعاعی به اسم شعاع همگرایی(مثلن) شما باید x اولت رو بگیری تا نزدیک به جواب وگرنه اصلن همگرا نمیشه و به جایی نمیرسه.بحث دقیقش واقعن سخته.ولی میشه شهودی فهمید چه خبره.
و واسه مثال که ببینید بحث پیوستگی و مشتق پذیری چقدر پیچیده است تابع وایرشتراوس رو ببینید!
Weierstrass function - Wikipedia, the free encyclopedia
همه جا پیوسته است ولی هیچ چجا مشتق پذیر نیست!!

 

[MR.Amin]

پاسخ : یه اشکال تو روش نیوتن برای محاسبه ریشه

خب مگه ما ثابت نميكنيم با روش هاي رياضي!!!!!

 

[hkh74]

پاسخ : یه اشکال تو روش نیوتن برای محاسبه ریشه

خب چرا اينجوريه؟؟؟

اينا كه شرايط رو دارن!!!!!!!

تابع مثال من شرایط رو نداره (چرا؟) اما تابع شما، همونطوری که kaleiodoscope گفتن باید x_0 رو به اندازه ی کافی نزدیک به ریشه بگیرین.

یک نکته ی جالب: اگر تابع f ای (مشتقپذیر) وجود داشته باشه که در معادله ی

صدق کنه اونوقت روش نیوتن در مورد این تابع درست نیست، پس ثابت کنید چنین تابعی وجود نداره!

 

[mehran88]

پاسخ : یه اشکال تو روش نیوتن برای محاسبه ریشه

خب مگه ما ثابت نميكنيم با روش هاي رياضي!!!!!

خود همین روش نیوتون n تا شاخه ی دیگه برای دقیق تر شدن محاسبات داره.توی بعضی از شاخه هاش با یه سری ترفندهای خفن ریاضی میان یه کارایی میکنند تا همگرایی بهتر انجام بشه.این که X0 رو تا میتونیم نزدیک انتخاب کنیم رو ما باید جزو پیش فرض هامون داشته باشیم!!ابرا چی دنبال اون بازه بریم؟؟

 

[MR.Amin]

پاسخ : یه اشکال تو روش نیوتن برای محاسبه ریشه

تابع مثال من شرایط رو نداره (چرا؟) اما تابع شما، همونطوری که kaleiodoscope گفتن باید x_0 رو به اندازه ی کافی نزدیک به ریشه بگیرین.

یک نکته ی جالب: اگر تابع f ای (مشتقپذیر) وجود داشته باشه که در معادله ی

صدق کنه اونوقت روش نیوتن در مورد این تابع درست نیست، پس ثابت کنید چنین تابعی وجود نداره!

نه من مخالفم....من از دبیرمون پرسیدم گفت هرچقدر هم x اولیه رو دورتر از ریشه بگیریم بازم رشدش اونقدر زیاده که بعداز دو سه تا مرحله به نزدیکی ریشه میرسیم!!!

ربطی نداره که مقدار اولیه چی باشه

 

[mehran88]

پاسخ : یه اشکال تو روش نیوتن برای محاسبه ریشه

نه من مخالفم....من از دبیرمون پرسیدم گفت هرچقدر هم x اولیه رو دورتر از ریشه بگیریم بازم رشدش اونقدر زیاده که بعداز دو سه تا مرحله به نزدیکی ریشه میرسیم!!!

ربطی نداره که مقدار اولیه چی باشه

من پارسال خیلی روی روش نیوتون کار کردم.درسته.همگرایی روش نیوتون در 99 درصد مواقع حتی اگه x0 مون هم از ریشه دور باشه خیلی سریعه اما در بعضی توابع پیچیده تر با روش نیوتون عادی همگرایی خیلی بدی داریم یا اصلا همگرایی نداریم.اینجاست که اون شاخه های فرعی روش نیوتون وارد کار میشن و بعضی کمبودها رو جبران می کنند.

 

[seyed iman]

پاسخ : یه اشکال تو روش نیوتن برای محاسبه ریشه

من پارسال خیلی روی روش نیوتون کار کردم.درسته.همگرایی روش نیوتون در 99 درصد مواقع حتی اگه x0 مون هم از ریشه دور باشه خیلی سریعه اما در بعضی توابع پیچیده تر با روش نیوتون عادی همگرایی خیلی بدی داریم یا اصلا همگرایی نداریم.اینجاست که اون شاخه های فرعی روش نیوتون وارد کار میشن و بعضی کمبودها رو جبران می کنند.

کدوم شاخه های فرعی؟

 

[mehran88]

پاسخ : یه اشکال تو روش نیوتن برای محاسبه ریشه

کدوم شاخه های فرعی؟

این یه مقاله ی خوبه که اومده چند تا از اون شاخه ها رو بررسی کرده و میزان همگرایی اونها رو توی توابع مختلف کمی توضیح داده.بچه های المپیاد فیزیک و مهندس های عزیز حتما مقاله زیر رو بخونند که خیلی جالبه.
http://ce.sharif.edu/~shaabani/tex/newton.pdf

 

[zz_torna2]

پاسخ : یه اشکال تو روش نیوتن برای محاسبه ریشه

ببخشید مگه روش نیوتن برای محاسبه ی ریشه نیست؟ آخه تابع معرفی شده در ص1 توسط hkh74 که ریشه نداره؟!!!(اگه سوتی نداده باشم)

 

[hkh74]

پاسخ : یه اشکال تو روش نیوتن برای محاسبه ریشه

نه من مخالفم....من از دبیرمون پرسیدم گفت هرچقدر هم x اولیه رو دورتر از ریشه بگیریم بازم رشدش اونقدر زیاده که بعداز دو سه تا مرحله به نزدیکی ریشه میرسیم!!!

ربطی نداره که مقدار اولیه چی باشه

این حرف اشتباهه. تابع

و

رو در نظر بگیرید، با دنباله ی متناوب مواجه میشید، پس باید

رو نزدیک تر انتخاب کنید.

این هم نمودار تابع و دو مماس :

ببخشید مگه روش نیوتن برای محاسبه ی ریشه نیست؟ آخه تابع معرفی شده در ص1 توسط hkh74 که ریشه نداره؟!!!(اگه سوتی نداده باشم)

درسته، باید توی اون تابع مقدار

رو برابر 0 تعریف کنیم که در اینصورت ریشه داره.

تابعی که گفتم یک شرط دیگه رو نداره.

 

[MR.Amin]

پاسخ : یه اشکال تو روش نیوتن برای محاسبه ریشه

این حرف اشتباهه. تابع

و

رو در نظر بگیرید، با دنباله ی متناوب مواجه میشید، پس باید

رو نزدیک تر انتخاب کنید.

این هم نمودار تابع و دو مماس :

درسته، باید توی اون تابع مقدار

رو برابر 0 تعریف کنیم که در اینصورت ریشه داره.

تابعی که گفتم یک شرط دیگه رو نداره.

ببخشيد ميشه يكي قضيه كامل نيوتن رو بنويسه؟؟؟؟؟

الان واسه من سواله ... مگه تنها شرايطش پيوستگي و مشتق پذيري تو دامنه نيست؟؟؟؟

 

[hkh74]

پاسخ : یه اشکال تو روش نیوتن برای محاسبه ریشه

ببخشيد ميشه يكي قضيه كامل نيوتن رو بنويسه؟؟؟؟؟

الان واسه من سواله ... مگه تنها شرايطش پيوستگي و مشتق پذيري تو دامنه نيست؟؟؟؟

با اثبات:

Newton's Method

 

[mehran88]

پاسخ : یه اشکال تو روش نیوتن برای محاسبه ریشه

ببخشيد ميشه يكي قضيه كامل نيوتن رو بنويسه؟؟؟؟؟

الان واسه من سواله ... مگه تنها شرايطش ژيوستگي و مشتق ژذيري تو دامنه نيست؟؟؟؟

یکی از شرایط اونه.
توی این مقاله کمی به شرایط همگرایی روش نیوتون اشاره شده.
http://ce.sharif.edu/~shaabani/tex/newton.pdf

الان کنکور دارید.بعد کنکور اگه کتاب محاسبات عددی جزو واحدهای دانشگاهیتون نبود پیشنهاد می کنم حتما یکبار اون رو بخونید.کتاب فوق العاده ایه واسه ارایه تئوریهای آنالیز عددی.به ظور کامل راجع به همگرایی انواع و اقسام روش های تقریب هم پرداخته.