سوال جالب(تمام n هایی رو بیابید ....)

math · 1391/3/3

سلام

به ازای هر n تمام اعدادی را بیابید که بتوان ان را به شکل زیر نوشت !!!!!

$\sum_{i=1}^{n}\frac{i}{a_{i}}$

که

$a_{i}$

ها اعداد صحیح مثبتند !!!!!

threehandsnal · 1391/3/3

پاسخ : سوال جالب(تمام n هایی رو بیابید ....)

مشابهش رو قبلا دیده بودم.ولی یادم نمیاد کجا:

اینارو میشه نمایش داد:

$1,2,3,...,\frac{n(n+1)}{2}$

واضحه گه بزرگتر از اینارو نمیشه نمایش داد چون هر کسر حداکثر 1 میشه! حالا با استقرا ثابت میکنیم همه اینارو میشه ساخت:
حکم برای n=1 بدیهیه.
فرض کنید حکم برای n-1 برقرار باشه. واسه n ثابت میکنیمش:
اگر

$n+1\leq k\leq \frac{n(n+1)}{2}$

باشه اونموقع طبق فرض استقرا

$k-n$

رو میشه اینجوری نشون داد:

$k-n=\sum_{i=1}^{n-1}\frac{i}{a_i}\implies k=\sum_{i=1}^{n-1}\frac{i}{a_i}+\frac{n}{1}$

حالا اگه

$k\in [1,n]$

باشه میشه اینجوری نشون داد:

$1=\sum_{i=1}^{n}\frac{i}{n.i}$

برای

$2\leq k\leq n$

میشه نوشت:

$\left\{\begin{matrix} a_i=(n-1)i\:\:\forall i\neq k-1\\ a_{k-1}=1 \end{matrix}\right.$

پس میشه:

$\sum_{i=1}^{n}\frac{i}{a_i}=\sum_{i=1}^{k-2}\frac{i}{i(n-1)}+k-1=\frac{n-1}{n-1}+k-1=k$

پس حکم با استقرا ثابت شد.

پ.ن: واقعا ممنون میشم بگید سوال از کجاست! چون کاملا راه حلش یادم بود :4:

alich100 · 1391/3/3

پاسخ : سوال جالب(تمام n هایی رو بیابید ....)

سوال سال نمیدونم چند مرحله دو بوده!

math · 1391/3/3

پاسخ : سوال جالب(تمام n هایی رو بیابید ....)

threehandsnal گفت

نمیدونم برای کجا بوده من توی یک جزوه دیده بودم

goodarz · 1391/3/3

پاسخ : سوال جالب(تمام n هایی رو بیابید ....)

مرحله2 سال 78: AoPS Forum - m= a_1/1+... - Iran NMO 1999 (Second Round) Problem4 • Art of Problem Solving

سوال جالب(تمام n هایی رو بیابید ....)

math

New Member

threehandsnal

New Member

alich100

New Member

math

New Member

goodarz

Well-Known Member