مسابقه ریاضی ((حل کنید !))

hamidreza hashempour · 1391/3/10

پاسخ : مسابقه ریاضی ((حل کنید !))

ااااااااااااا تو که راه حل رو گذاشتی مگه قرار نبود بقیه حلش کنن؟

Yousefi · 1391/3/10

پاسخ : مسابقه ریاضی ((حل کنید !))

hamidreza hashempour گفت

عزیز جان ، سه بار سوال جواب داده شده مهلتش هم تموم شده بود منم یه جوابشو گذاشتم.

alich100 · 1391/3/10

پاسخ : مسابقه ریاضی ((حل کنید !))

در جواب سوال آقای/خانم (حالا هر کی):
حالت اول:

$n=2k$

چون اعضای f به صورت زوج اند و هر دو تا زوج تا اشتراک دارند این ایده به نظر میرسد که:
اعضا را دو تا دوتا دسته بندی میکنیم یعنی :

$x:={a_{1},a_{2}\mid a_{3},a_{4}\mid ...\mid a_{n-1},a_{n}}$

پس هر دوتایی را یک عضو میگیریم پس f را برابر تعداد زیرمجموعه های x به صورت دسته بندی شده در نظر می گیریم پس حداکثر تعداد اعضای f برابر است با

$2^{\frac{n}{2}}$

حالت دوم : برای n فرد:
یکی از اعضا را کنار گذاشته و بقیه را حساب می کنیم پس میشود:

$2^\left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor$

پس کار تمام است
درسته؟

hamidreza hashempour · 1391/3/10

پاسخ : مسابقه ریاضی ((حل کنید !))

ok مهندس حواسم نبود

حالا هرکی · 1391/3/10

پاسخ : مسابقه ریاضی ((حل کنید !))

جوابتون درسته و یه تیکه دیگه باید بگین که f نمیتونه بزرگتر از اون مقدار باشه چرا؟

(خودم راهم جبری هست وترکیبیاتی نیس پس هر کس ترکیبیاتیشو حلید بزاره خواهشا)

نابغه · 1391/3/10

پاسخ : مسابقه ریاضی ((حل کنید !))

Yousefi گفت

شما یا چه نرم افزاری تایپ می کنید

Yousefi · 1391/3/11

پاسخ : مسابقه ریاضی ((حل کنید !))

نابغه گفت

اگه منظورتون از تایپ کشیدن اون شکله که یکی دیگه هم پرسید ، با نرم افزار GeoGebra

alich100 · 1391/3/11

پاسخ : مسابقه ریاضی ((حل کنید !))

البته به نظرم با استقرا هم بشه:
یعنی ابتدا فرض کنید حداکثر تعداد برای n برابر

$2^{\frac{n}{2}}$

است و برای n+2 میخواهیم ثابت کنیم حداکثر تعداد

$2^{\frac{n+2}{2}}$

هست.
خب مجموعه ی

$X:{a_{1},a_{2},...,a_{n},a_{n+1},a_{n+2}}$

را در نظر بگیرید می دانیم که حداکثر برای

$a_{1}$

تا

$a_{n}$

برابر

$2^{\frac{n}{2}}$

است
حال داریم:

$a_{n+1}$

به تنهایی نمی تواند در زیرمجموعه متشکل از خود

$a_{n+1}$

و هر کدام از بقیه بجز

$a_{n+2}$

قرار بگیرد(که ما اسم این زیرمجموعه را

$A$

قرار می دهیم) چون اگر قرار بگیرد :
باعث میشود که زیرمجموعه ای به قبلی ها اضافه شود میدانیم که

$a_{n+1}$

مشترکی با قبلی ها ایجاد نمی کند حال ما عضو

$a_{n+1}$

را از درون آن زیرمجموعه برمیداریم زیرمجموعه ای بدست میآید که همگی جزئ

$a_{1}$

تا

$a_{n}$

هستند پس حتما یا جزئ همان قبلی ها اند یا یکی دیگرند اگر جزئ قبلی ها باشد که

$A$

دارای تعدادی فرد عضو میشود که تناقض است و اگر یکی دیگر باشد که حداکثر برای n بیشتر از

$2^{\frac{n}{2}}$

میشود که باز هم تناقض است پس هیچکدام از عضو های

$a_{n+1}$

یا

$a_{n+2}$

نمی توانند به تنهایی در زیرمجموعه ای قرار گیرند پس

${a_{n+1},a_{n+2}}$

را یک عضو در نظر میگیریم و همچنین واضح است که این عضو را (

${a_{n+1},a_{n+2}}$

) نمی توان در زیر مجموعه ای بغیر از قبلی ها قرار داد چون اگر قرار گیرند چون این ها هیچ مشترکی با قبلی ها ندارند باعث میشود حداکثر برای n بیشتر از

$2^{\frac{n}{2}}$

شود که تناقض است پس در هر زیرمجموعه ای از قبلی ها این عضو را اضافه میکنیم پس حداکثر برای n+2 برابر میشود با:

$2^{\frac{n}{2}}+2^{\frac{n}{2}}=2^{\frac{n+2}{2}}$

پس کار زمانی تمام است که برای پایه استقرا اثبات کنیم یعنی

$n=1,2$

برای 1 که بدیهیه برای 2 هم همچنین!
پس کار تمام است!
البته منظورم این بود:

$2^{\frac{n}{2}}\to 2^{\left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor}$

اثباتش به طور مشابهه!
درسته؟
این راه ترکیبیاتی هست؟!

alich100 · 1391/3/11

پاسخ : مسابقه ریاضی ((حل کنید !))

اگه درسته که من سوال 3 رو می ذارم:

3- مرکز ارتفاعی مثلث ABC را به رئوس A و B و C وصل می کنیم و مراکز ثقل مثلث های HBC و HAC و HAB را به ترتیب

$G_{A}$

و

$G_{B}$

و

$G_{C}$

می نامیم ثابت کنید که مثلث

$G_{A}G_{B}G_{C}$

با مثلث ABC متشابه است و نسبت تشابه آن

$\frac{1}{3}$

است.

alimohammadi · 1391/3/11

پاسخ : مسابقه ریاضی ((حل کنید !))

alich100 گفت

وسط ah رو m در نظر بگيريد . ميدانيم BG_b =2G_bM و همچنين CG_c=2G_cMپس طبق عكس تالس G-bG-c موازي BC و برابر 1/3 آن است. و به طور مشابه بقيه ضلع هاي مثلث تشكيل شده توسط مركز ثقل ها برابر با 1/3 اضلاع abc و موازي با آن ميشوند

alich100 · 1391/3/11

پاسخ : مسابقه ریاضی ((حل کنید !))

درست!(فک نمی کردم با هندسه کلاسیک اینقدر راحت باشه!!!!!!!)(البته منظور شما بوده:

$C\rightarrow B, B\rightarrow C$

)
راه من با هندسه مختلط:
می دانیم که

$H=A+B+C$

و همچنین داریم :

$G_{A}=\frac{H+B+C}{3},G_{B}=\frac{H+A+C}{3},G_{C}=\frac{H+A+B}{3}$

پس داریم:

$\frac{\left | G_{A}-G_{B} \right |}{\left | A-B \right |}=\frac{\left | \frac{H+B+C}{3}-\frac{H+A+C}{3} \right |}{\left | A-B \right |}=\frac{1}{3}$

برای بقیه هم بطور مشابه اثبات میشود پس کار تمام است!
یکی سوال بذاره!

alimohammadi · 1391/3/11

پاسخ : مسابقه ریاضی ((حل کنید !))

سوال بعد

4-مثلث حاده الزاويه ABC رو در نظر بگيريد پاي ارتفاع نظير رئوس A,B,C رو به ترتيب E,Y,D در نظر بگيريد . خط دلخواه d رو طوري در نظر بگيريد كه بر AB عمود باشد و AC يا امتدادش را در Z قطع كند. محل تقاطع خط d و ED را X بناميد ثابت كنيد BC از مركز دايره محيطي XYZ ميگذرد.

alich100 · 1391/3/11

پاسخ : مسابقه ریاضی ((حل کنید !))

آقا یبار تاپیکتون رو دقت کنید ببینید درست نوشتید؟
منظورم اون قسمت به ترتیبش است یعنی پای ارتفاع c برابر d است و پای ارتفاع b برابر y است و پای ارتفاع a برابر e است؟

حالا هرکی · 1391/3/11

پاسخ : مسابقه ریاضی ((حل کنید !))

alich100 گفت

البته به نظرم با استقرا هم بشه:
یعنی ابتدا فرض کنید حداکثر تعداد برای n برابر

$2^{\frac{n}{2}}$

است و برای n+2 میخواهیم ثابت کنیم حداکثر تعداد

$2^{\frac{n+2}{2}}$

هست.
خب مجموعه ی

$X:{a_{1},a_{2},...,a_{n},a_{n+1},a_{n+2}}$

را در نظر بگیرید می دانیم که حداکثر برای

$a_{1}$

تا

$a_{n}$

برابر

$2^{\frac{n}{2}}$

است
حال داریم:

$a_{n+1}$

به تنهایی نمی تواند در زیرمجموعه متشکل از خود

$a_{n+1}$

و هر کدام از بقیه بجز

$a_{n+2}$

قرار بگیرد(که ما اسم این زیرمجموعه را

$A$

قرار می دهیم) چون اگر قرار بگیرد :
باعث میشود که زیرمجموعه ای به قبلی ها اضافه شود میدانیم که

$a_{n+1}$

مشترکی با قبلی ها ایجاد نمی کند حال ما عضو

$a_{n+1}$

را از درون آن زیرمجموعه برمیداریم زیرمجموعه ای بدست میآید که همگی جزئ

$a_{1}$

تا

$a_{n}$

هستند پس حتما یا جزئ همان قبلی ها اند یا یکی دیگرند اگر جزئ قبلی ها باشد که

$A$

دارای تعدادی فرد عضو میشود که تناقض است و اگر یکی دیگر باشد که حداکثر برای n بیشتر از

$2^{\frac{n}{2}}$

میشود که باز هم تناقض است پس هیچکدام از عضو های

$a_{n+1}$

یا

$a_{n+2}$

نمی توانند به تنهایی در زیرمجموعه ای قرار گیرند پس

${a_{n+1},a_{n+2}}$

را یک عضو در نظر میگیریم و همچنین واضح است که این عضو را (

${a_{n+1},a_{n+2}}$

) نمی توان در زیر مجموعه ای بغیر از قبلی ها قرار داد چون اگر قرار گیرند چون این ها هیچ مشترکی با قبلی ها ندارند باعث میشود حداکثر برای n بیشتر از

$2^{\frac{n}{2}}$

شود که تناقض است پس در هر زیرمجموعه ای از قبلی ها این عضو را اضافه میکنیم پس حداکثر برای n+2 برابر میشود با:

$2^{\frac{n}{2}}+2^{\frac{n}{2}}=2^{\frac{n+2}{2}}$

پس کار زمانی تمام است که برای پایه استقرا اثبات کنیم یعنی

$n=1,2$

برای 1 که بدیهیه برای 2 هم همچنین!
پس کار تمام است!
البته منظورم این بود:

$2^{\frac{n}{2}}\to 2^{\left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor}$

اثباتش به طور مشابهه!
درسته؟
این راه ترکیبیاتی هست؟!

اینجاش مورد داره ببنید ممکنه an+1 تویدوتا مجموعه باشه که اشتراکشون فرده که با an+1 میشه زوج تا که این دو محموعه تو قبلیا نبودن :196:

alimohammadi · 1391/3/12

پاسخ : مسابقه ریاضی ((حل کنید !))

alich100 گفت

بله سوال همینه که شما میگید

alich100 · 1391/3/14

پاسخ : مسابقه ریاضی ((حل کنید !))

یکم سخت نیست؟
یه راهنما کن

ash1374 · 1391/3/14

پاسخ : مسابقه ریاضی ((حل کنید !))

سلام
پاسخ 4
محل بر خورد دایره ی محیطی exy با bc رو برای بار دوم، o بگیرید. یعنی exyo محاطیه. پس زاویه ی xyo با xeb برابره که همون زاویه ی a هستش. از طرفی زاویه ی z همون متمم a هست. پس yo از مرکز دایره ی محیطی xyz میگذزه. اگه قابت کنیم ox=oy نتیجه میشه o همون مرکز دایره است و اثبات تمامه. برا اثبات این هم کافیه ثابت شه oxy=a که این هم واضحه. چون xyoe محاطیه وoxy=oey=a
پس o مرکزه و اثبات تمامه.

Yousefi · 1391/3/15

پاسخ : مسابقه ریاضی ((حل کنید !))

خب سوال بعد رو من طرح می کنم ،
می دانیم که :

$a_1 \geq a_2\geq a_3\geq ...\geq a_n\geq a_{n+1}=0$

و

$\left \{a_n \right \}$

دنباله ای از اعداد حقیقی است.

ثابت کنید که :

$\sqrt{\sum_{k=1}^{n}a_k}\leq \sum_{k=1}^{n}\sqrt{k}(\sqrt{a_k}-\sqrt{a_k+1})$

alich100 · 1391/3/15

پاسخ : مسابقه ریاضی ((حل کنید !))

a چیه؟
منظورتون از رادیکال آخری سمت راست چی بوده؟
اشتباه نوشته شده

alich100 · 1391/3/16

پاسخ : مسابقه ریاضی ((حل کنید !))

بازم که اشتباهه!!!!!
سمت راست منفیه ولی سمت چپ مثبت!!!!!

مسابقه ریاضی ((حل کنید !))

New Member

Well-Known Member

New Member

New Member

New Member

New Member

Well-Known Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

New Member

Well-Known Member

New Member

New Member