اثبات نزول یک دنباله

mohy1376 · 1393/8/5

ثابت کنید دنباله ی زیر نزولی است:

$a_n=\frac{1}{n\sqrt[n]{n}}$

sahands · 1393/8/11

پاسخ : اثبات نزول یک دنباله

مگه n تو مخرج نیست با رادیکال بغلیش، پس وقتی n زیاد میشه کسر مقدارش پایین میاد

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

مگه n تو مخرج نیست با رادیکال بغلیش، پس وقتی n زیاد میشه کسر مقدارش پایین میاد

sepidfekr · 1393/8/11

پاسخ : اثبات نزول یک دنباله

sahands گفت

الان ثابت کردید مخرج این کسر صعودیه؟

m-saghaei · 1393/8/11

پاسخ : اثبات نزول یک دنباله

sepidfekr گفت

گفتن مخرجش صعودیه چون هر چی n رو بیشتر کنیم مخرج بزرگتر میشه پس کسر کوچکتر میشه.

sepidfekr · 1393/8/11

پاسخ : اثبات نزول یک دنباله

m-saghaei گفت

دقیقا این اثبات بود برا صعودی بودن مخرج؟؟؟:59::59::59::59:

mohy1376 · 1393/8/12

پاسخ : اثبات نزول یک دنباله

sahands گفت

$\sqrt[n]{n}:$

عبارت

$\sqrt[n]{n}$

به صورت غیر منظم زیاد و کم میشه ،برای همین نمیشه به طور قطعی گفت که حاصل ضرب یه صعودی در غیر یکنوا همیشه صعودیه!!(البته در اینجا طبق نامساوی رشد میشه گفت مخرج صعودیه)ولی باید از راه تعریف صعودی استفاده کنی برای مخرج یا نزولی برای دنباله.

mohy1376 · 1393/10/5

پاسخ : اثبات نزول یک دنباله

بالاخره یه اثبات واسش پیدا کردم ، هرچند کسی جز "یک نفر" به من کمکی نکرد :|

ثابت می کنیم

$n\sqrt[n]{n}$

صعودیه پس معکوسش نزولیه : (بامشتق)

$u=n\sqrt[n]{n}\Rightarrow ln(u)=(1+\frac{1}{n})ln(n)\rightarrow \frac{u^'}{u}=\frac{-1}{n^2}ln(n)+\frac{1}{n}(1+\frac{1}{n})$

$\Rightarrow u^{'}=n^{\frac{1}{n}-1}(n+1-ln (n))$

یه ور عبارت به ازای اعداد طبیعی ،مثبته پس باید فقط پرانتز دوم رو بزرگتر از صفر بذاریم:

$n+1>ln(n)\rightarrow n<e^{n+1}$

که این هم بدیهیه ،پس به ازای مقادیر طبیعی ،این دنباله صعودی و عکس آن نزولی است

Dadgarnia · 1393/10/5

پاسخ : اثبات نزول یک دنباله

mohy1376 گفت

ببخشید من این سوالو حل کردم ولی یادم رفت بیام جوابشو بنویسم.
باید ثابت کنیم:

$\frac{1}{n\sqrt[n]{n}}> \frac{1}{(n+1)\sqrt[n+1]{n+1}}$

که این هم ارزه با:

$(1+\frac{1}{n})^{n^2+2n}> n$

با استفاده از نامساوی برنولی داریم:

$(1+\frac{1}{n})^{n^2+2n}\geq 1+\frac{n^2+2n}{n}=n+3> n$

اثبات نزول یک دنباله

mohy1376

Well-Known Member

sahands

New Member

sepidfekr

New Member

m-saghaei

New Member

sepidfekr

New Member

mohy1376

Well-Known Member

mohy1376

Well-Known Member

Dadgarnia

New Member