ارقام شمارپذیر Significant figures

[Wizard]

به نام خداوند دانا و توانا
​

ارقام شمارپذیر (Significant figures) اصطلاحی است که میزان دقت مقادیر انازه گرفته شده در آمار و علوم تجربی را مشخص می نماید.

اهمیت این موضوع وقتی بیشتر می شود که بخواهیم مقادیر اندازه گرفته شده را وارد مرحله ی محاسبات کنید. مثلا اگر بخواهیم مساحت

قطعه فلز مستطیل شکل را با طول 1.8 سانتی متر و عرض 1.2 سانتی متر محاسبه کنیم؛ خواهیم داشت.

محاسبات صورت گرفته در مثال فوق از لحاظ جبری کاملا صحیح است. اما در علوم تحربی مقداز بدست آمده دارای یک اشکال است و آن هم اینکه

آیا دقت محاسبات ما همین مقدار است؟




در علوم تجربی و ریاضیات آماری همیشه در مقدار اندازه گرفته شده مقداری خطا وجود دارد (مثلا شاید در مثال فوق طول مستطیل 1.81 سانتی متر

بوده که ما علت اینکه به علت دقت اندازه گیریمان که 0.1 سانتی متر بوده، مقدار 1.8 سانتی متر را بدست آورده ایم.). بنابراین، همانطور که در مقادیر

اندازه گرفته شده مقداری خطا وجود دارد، در ارقام و اعداد بدست آمده از محسابات نیز خطال وجود دارد. در نتیجه ی این بحث، دانشمندان با یافتن

مجموعه قوانینی در صدد این موضوع بر آمدند که دقت محاسبات آماری و آزمایشگاهی خود را بالا ببرند. این قوانین امروز به Significant figures

(نام دیگر آن Significant digits است.) یا ارقام شمارپذیر مشهور است. قوانین ارقام شمارپذیر از شاخه ای از ریاضیات به اسم

Interval arithmetic یا محاسبات بازه بدست آمده است.





در ادامه ی این بحث به بحث در رابطه با قوانین ارقام شمارپذیر در رابطه با جمع و منها و ضرب و تقسیم می پردازیم.

(( دوستان این مطلب با اینکه فوق العاده ساده هست ولی خیلی مهمه، تو مدارس ایرانی این موضوع به صورت عمومی گفته نمی شه در صورتی

که در مدارس خارجی این موضوع بیان می شه. شما اگر بخواهید آزمایشی انجام بدید یا در دنیای خارج از درس و کتاب اندازه گیری کنید. لازم هست

که بتونید تعیین کنید که دقت اندازه گیریتون چقدر هست.))

نکته: این مبحث ابدا ربطی به کنکور ندارد

 

[Dadgarnia]

پاسخ : ارقام شمارپذیر Significant figures

ببخشيد پس بقيه ي متن رو كي ميذارين؟

 

[Wizard]

پاسخ : ارقام شمارپذیر Significant figures

به نام خداوند دانا و توانا

​

ببخشید مطلب طولانی هستش یکم طول کشید که بنویسم.

پیش نیاز دانستن این مطالب : فیزیک 2

در پست قبلی مختصرا درباره قوانین ارقام شمارپذیر صحبت شد. در این پست به بیان مجموعه قوانین شمار پذیری در رابطه با خود مقادیر اندازه گرفته

شده، در عملیات های جمع و تفریق و عملیات ضرب و تقسیم می پردازیم

این نکته را به یاد داشته باشید که هیچ رقم شمار پذیری خارج از دقت اندازه گیری نخواهیم داشت
[HR][/HR]ارقام شمار پذیر برای اعداد بدست آمده از راه اندازه گیری:

فرض کنید در یک اندازه گیری جرم یک قطعه رقم 10.20 کیلوگرم بدست آمده است.. از لحاظ ریاضی بین عدد 10.20 و 10.2 هیچ فرقی وجود ندارد و این

در حالی است که دو عدد یاد شده در علوم تجربی با هم تفاوت دارند. 10.20 عدد با دقت اندازه گیری 0.01 و 10.2 عددی با دقت اندازه گیری 0.1 می باشد.

این یک راه برای بیان دقت اندازه گیری است. راه دیگر بیان تعداد ارقام شمارپذیر است. در مثال 10.2 ما دارای 3 رقم شمارپذیر و در مثال 10.20 ما دارای 4

رقم شمارپذیر هستیم. این نکته حائز اهمیت است که اگر مقدار ما مثلا 0.04 باشد. ما فقط 1 رقم شمار پذیر داریم در صورتی که به نظر می آید 2 رقم

شمار پذیر داشته باشیم. برای تعیین تعدادد ارقام شمارپذیر در اندازه ها مجموعه قوانین زیر را داریم

(( در مثال های زیر، زیر ارقام شمار پذیر خط کشیده می شود.))


1- تمام ارقام غیر صفر جز ارقام شمار پذیر هستند.

مثال:

23

2-ارقام صفری که بین دو رقم غیر صفر هستند شمار پذیرند.

2400.00001


250024

3. تمام صفرهای ذکر شده بعد از ممیز ( اعشاری) شمار پذیرند.

مثال

24.000

4. تمام ارقام صفر بین ممیز و عدد غیر صفر ( واقع در قسمت غیر اعشاری) با شرط ذکر شدن علامت ممیز شمار پذیرند.

مثال

.43000

5. ارقام صفر اعشاری که که پیش از آن ها( از سمت چپ ) عددی نبوده و بعد از آنها عدد غیر صفر ظاهر می شود؛ شمار ناپذیر است.

مثال

0.00052

بنابراین دریافتیم که ارقام شمارپذیر چگونه تعیین می شوند.

دانشمندان متوجه شدند که اگرچه مثلا برای عدد .3000 کاملاً مشخص است که ما 4 رقم شمارپذیر داریم اما مثلا برای عدد 3000 تعداد ارقام شمار پذیر

نامشخص است. برای اینکه در مثال .3000 به علت اینکه دقت اندازه گیری مشخص است ( دقت= 1 ) تعداد ارقام شمارپذیر نیز قابل تشخیص است.

در صورتی که در مثال 3000 دقت اندازه گیری نامشخص بوده و در نتیجه تعداد ارقام شمار پذیر نیز نامشخص است. ((عدد 3000 ممکن است دارای

میزان دقت 10 یا 100 یا 1000 باشد و فرضاً اگر تعداد دقت آن 100 باشد. تعداد ارقام شمارپذیر آن 2 و اگر دقت آن 10 باشد. تعداد ارقام شمار پذیر آن

3 خواهد بود.))

برای حل این مشکل دانشمندان از نمادگذاری علمی استفاده کردند که در این روش تعداد ارقام شمارپذیر با تعداد ارقام یاد شده در قسمت اول

نماد علمی ((قسمت دوّم نماد گذاری 10 به تواند عدد است که جایگاه واقعی قسمت اوّل نمادگذاری علمی را مشخص می نماید.)) برابر است.

مثلا

دارای دو رقم شمارپذیر و

دارای 4 رقم شمار پذیر می باشد.


جمع و تفریق
=======

در جمع و تفریق ما از دقت اندازه گیری استفاده می کنیم. در واقع دقت مقدار حاصل شده در محاسبات جمع و تفریق باید معادل با کمترین دقت لحاظ

شده در اندازه گیری ها باشد و ارقامی که زیر دقت اندازه گیری هستند را با گرد کردن ازبین می بریم.

مثال:

اجسامی به جرم های 0.80 کیلوگرم ، 0.03 کیلوگرم و 1 کیلوگرم داریم. مجموع جرم آنها چقدر است.

کمترین دقت متعلق به جسم 1 کیلوگرمی است که دارای دقت 1 هست.

چون کمترین مقدار دقت برابر 1 است. بنابراین جواب ما هم باید با دقت 1 باشد و بقیه ارقام زیر دقت را گرد می کنیم.

مثال: مجموع جرم دو جسم 20.00 کیلوگرم است. اگر جسمی که جرم آن 0.8 کیلوگرم است برداشته و بجای آن جسمی به جرم 0.02 کیلوگرم

به آن اضافه کنیم مجموع جرم دو جسم جدید چقدر است؟

(( در این مسئله ما از جمع و تفریق استفاده کنیم، کمترین میزان دقت مربوط به جسم 0.8 کیلوگرمی هست که دقت 0.1 دارد))

حاصل باید عددی با دقت 0.1 باشد. بنابراین داریم:

عدد حذف شده را گرد کردیم.

[HR][/HR]
ضرب و تقسیم


در ضرب و تقسیم، تعداد ارقام شمار پذیر مهم است. در جواب بدست آمده، تعداد ارقام شمار پذیر بایستی برابر با کمترین تعداد ارقام شمار پذیر در اندازه

گیری ها باشد. به مثال زیر توجه کنید.

جسمی به جرم 3.08 کیلوگرم با شتاب

در حرکت است. نیروی برآیند وارد بر جسم را مشخص نمایید.

چون کمترین مقدار ارقام شمار پذیر 2 می باشد(( به شتاب تعلق دارد)) بنابراین جواب نیز باید تا 2 رقم شمار پذیر داشته باشد.

حالا دو رقم از سمت چپ انتخاب کرده و باقی را گرد می کنیم

مثال

در عملیات زیر داریم

جواب نهایی:

نکته: از قوانین ارقام شمار پذیر تنها در آخر مسئله استفاده می کنیم و هرگز آن را در وسط مسئله استفاده نمی کنیم.

مثال:

جسمی به جرم

, و با شتاب

، .10 متر را می پیماید . کار جسم را حساب کنید.

حل:

در این مسئله کمترین مقدار اقرام شمارپذیر 2 است.

در حل داریم

چون کمترین مقدار ارقام شمار پذیر 2 بود؛ داریم:

همانطور که در مسئله بالا مشاهده کردید ما از قوانین ارقام شمار پذیر در آخر مسئله استفاده کردیم. و حالا اگر مسئله از ما توان را بخواهد. ما باید

از مقدار 456 ژول در مسئله استفاده کنیم و وقتی توان را بدست آوردیم از قوانین شمارپذیری استفاده می کنیم.

نکته: در تبدیل واحد ها، قوانین شمارپذیری استفاده نمی شود.

نکته: در مسائلی که اعداد در ثوابت ضرب می شوند . تعداد ارقام شمارپذیر ثوابت در نظر گرفته نمی شود.

مثال:

دمای جسمی 20.3 کلوین است. اگر دمای آن را دو برابر کنیم چقدر می شود؟

و اگر عدد به صورت یک عدد اعشاری نامتناهی باشد برای سهولت کار تا 2 رقم اعشار آن را حساب کرده و باقی را گرد می کنیم.


[HR][/HR]

لازم به ذکر هست که در مدارس کشور، تنها گفته می شود که تا 2 رقم اعشار و یا کمتر و یا بیشتر استفاده شود و هیچ کدام از این قوانین

را بیان نمی کنند.

ولی به شما نمادگذاری علمی ، دقت اندازه گیری و حتی مقداری از مبحث اندازه گیری خطا را در درس آمار به شما یاد می دهند.

این قوانین بیشتر بدرد کارهای عملی می خورند.