اعداد طبیعی xوy

fereidoon · 1389/2/30

تمام اعداد طبیعی را بیابید کهy[SUP]x[/SUP]=1+x[SUP]y[/SUP]

M_Sharifi · 1389/2/30

برای حل این سوال ثابت کنید اگر

$x>y\geq3$

آن گاه

$y^x-x^y>1$

.

fereidoon · 1389/2/30

راستش اقای شریفی این سوال الکی به ذهنم رسید و خودمم راه حلش رو نمیدونم,لطفا راه حل کامل را بگذارید
ممنون

M_Sharifi · 1389/2/30

fereidoon گفت

راهنمایی کردم. اگه تمایل ندارید که با اون راهنمایی سوال رو حل کنید، فردا حل سوال رو میذارم.

fereidoon · 1389/2/31

نتونستم حلش کنم,اقای شریفی,لطفا راه حلش را بنویسید.

M_Sharifi · 1389/2/31

fereidoon گفت

البته شاید شما معلومات این راه حلی رو که می نویسم نداشته باشید:

فرض می کنیم

$x>y\geq3$

. در این صورت اگر

$x=y+k$

آن گاه

[center:9afed16c67]

$x^y-y^x=x^{x+k}-(x+k)^x=x^x\left(x^k-\left(1+\frac kx\right)^x\right)\geq x^x(x^k-e^{k})>1$

بنابراین جواب معادله باید در شرط

$y\leq2$

صدق کند که از این مطلب راحت میشه نتیجه گرفت که جواب های معادله،

$(2,1),(3,2)$

اند. (البته من معادله ی

$x^y-y^x=1$

رو در نظر گرفتم)

[/center:9afed16c67]

shoki · 1389/2/31

http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=56&t=311106&hilit=its+minimum
یک کران بالا برای حالت کلیش رو هم می تونید اینجا ببینید :
http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?search_id=223138168&t=325620
راه حلی که M.SH برای سوال بالا داده رو اگر دقت کنید فقط یک قسمتش هست که به یه سری معلومات احتیاج داره که بالاتر از سطح اول دبیرستان هست ... اما سعی کنید برای اون قسمت راه حل مقدماتی پیدا کنید و بدون استفاده از

$\sum_{i=0}^{\infty} \frac{t^i}{i!}=e^t$

مسئله رو حل کنید...