اگر a,b,c سه عدد حقيقي و...

Olympiad · 1389/1/23

اگر

$a,b,c\leq 1$

سه عدد حقيقي و نامنفي باشند ، ثابت كنيد :

$\frac{a}{b+c+1}+\frac{b}{a+c+1}+\frac{c}{a+b+1}+(1-a)(1-b)(1-c)\leq 1$

Aref · 1389/3/23

یه راه خفن:
تابع

$f(a,b,c)=\frac{a}{b+c+1}+\frac{b}{c+a+1}+\frac{c}{a+b+1}+(1-a)(1-b)(1-c)$

نسبت به a,b,c مقعر است. پس حداکثر مقدار آن در یکی از دو سر بازه رخ می دهد. کافیه دو حالت رو چک کنیم و مسئله حله!

Olympiad · 1389/3/23

Aref گفت

فكر كنم روش لاگرانژ باشه

از اين راه هاي خفن نريد لطفا ......... فكر كنم بشه آسون تر هم حل كرد.....

Aref · 1389/3/23

این که دو خط بیشتر نیست. در ضمن در مورد روش های ساده تر هم فکر کردم حل نشد. اگه کسی راه حل ساده ای داره خوبه که مارو هم بی نصیب نزاره.

mahanmath · 1389/3/23

: Ye rah faghat ba AM-GM

Hint : farz konid

$\120dpi a=max\left \{ a,b,c \right \}$

i!i

Olympiad · 1389/3/23

يه راه ديگه :
راهنمايي :
طبق فرض داريم :

$a,b,c\leq 1$

پس داريم :

$\sum_{cyc}\frac{a}{a+b+1}\leq \sum \frac{a}{a+b+c}=1$

Aref · 1389/3/23

Olympiad گفت

کاملا غلطه. این نابرابری از اونی که تو سوال نوشتین ضعیفتره.