باز هم تجزیه!

[Wight]

چند جمله ای
http://latex.codecogs.com/png.latex?\tiny&space;\dpi{300}&space;x^n+a1*x^{n-1}+...+a0 که

ها اعداد صحیح اند مفروض اند.
اگر حاصل چند جمله ای فوق هم به ازای 1 و هم به ازای 2 برابر 0 باشد؛ در آن صورت دقیق ترین حکمی که در مورد ضرایب می توان بیان کرد کدام است؟ چرا؟

الف)ضریب جمله ثابت یعنی

کوچکتر مساوی 2 است.
ب)اختلاف بین ضرایب مثبت و منفی حراکثر یک است.
ج)مجموع ضریب توان های فرد قرینه مجموع ضریب های توان زوج است.
د)هیچ کدام صادق نیستند!

سپاس!

 

[Aria Keshtkar]

پاسخ : باز هم تجزیه!

این سؤال مقدماتی ایران سال 1375 بوده که داریم:
مثال نقض برای گزینه های الف و ب:
(x-1)(x-2)(x+4)=x[SUP]3[/SUP]+x[SUP]2[/SUP]-10x+8
اثبات گزینه ی ج:
If x=1 we have 1[SUP]n[/SUP]+a[SUB]n-1[/SUB]1[SUP]n-1[/SUP]+a[SUB]n-2[/SUB]1[SUP]n-2[/SUP]+…+a[SUB]0[/SUB]=0 or 1+a[SUB]n-1[/SUB]+a[SUB]n-2[/SUB]+…+a[SUB]0[/SUB]=0 so we have a[SUB]0[/SUB]+a[SUB]2[/SUB]+…=-(a[SUB]1[/SUB]+a[SUB]3[/SUB]+…)
که با فرد و یا زوج گرفتن n نیز تغییری حاصل نمی شود اما اصل سؤال مزبور چیز دیگری بوده و گزینه ای دیگر نیز داشته که عبارت است از:
حداقل یک ضریب کوچکتر یا مساوی 2- وجود دارد.
این گزینه نیز صحیح می باشد چرا که داریم:
1+a[SUB]n-1[/SUB]+a[SUB]n-2[/SUB]+…+a[SUB]0[/SUB]=0 , 2[SUP]n[/SUP]+a[SUB]n-1[/SUB]2[SUP]n-1[/SUP]+a[SUB]n-2[/SUB]2[SUP]n-2[/SUP]+…+a[SUB]0[/SUB]=0
حال برهان خلف می زنیم و فرض می کنیم تمام ضرایب بزرگتر از 2- می باشند که اگر چنین باشد، خواهیم داشت:
A[SUB]n-1[/SUB]>-2 so a[SUB]n-1[/SUB]>=-1 so a[SUB]n-1[/SUB]2[SUP]n-1[/SUP]>=-2[SUP]n-1[/SUP]
A[SUB]n-2[/SUB]>2 so a[SUB]n-2[/SUB]>=-1 so a[SUB]n-2[/SUB]2[SUP]n-2[/SUP]>=-2[SUP]n-2[/SUP]
. .
. .
. .
A[SUB]1[/SUB]>-2 so a[SUB]1[/SUB]>=-1 so a[SUB]1[/SUB]2[SUP]1[/SUP]>=-2[SUP]1[/SUP]
A[SUB]0[/SUB]>-2 so a[SUB]0[/SUB]>=-1
با جمع کردن دو طرف نا مساوی های فوق خواهیم داشت:
A[SUB]n-1[/SUB]2[SUP]n-1[/SUP]+a[SUB]n-2[/SUB]2[SUP]n-2[/SUP]+…+a[SUB]1[/SUB]2[SUP]1[/SUP]+a[SUB]0[/SUB]>=-2[SUP]n-1[/SUP]-2[SUP]n-2[/SUP]-…-2[SUP]1[/SUP]-1 so -2[SUP]n[/SUP]>=-2[SUP]n-1[/SUP]-2[SUP]n-2[/SUP]-…-2[SUP]1[/SUP]-1 so 2[SUP]n[/SUP]=<2[SUP]n-1[/SUP]+2[SUP]n-2[/SUP]+…+2[SUP]1[/SUP]+1 so 2[SUP]n[/SUP]=<2[SUP]n[/SUP]-1
این تناقض بیانگر این است که حداقل یک ضریب کوچکتر یا مساوی 2- موجود است.

 

[Wight]

پاسخ : باز هم تجزیه!

مرسی واقعا ممنونم!