برای هر n حسابی ...

rezashiri · 1389/6/29

برای هر n حسابی و a طبیعی ثابت کنید:

الف)

$n^{4}+2n^{3}+2n^{2}+2n+1$

نمی تواند مربع کامل باشد.

ب)

$2304\mid 49^{n}-2352n-1$

ج)

$49\mid 2^{3n+3}-7n-8$

د)

$a^{2}\mid (a+1)^{n+1}-an-(a+1)$

mrbayat · 1389/6/30

ب) با توجه به این که

$2304=9\cdot 256$

پس بخش پذیری را به دو عدد 9 و 256 بررسی می کنیم:

$49^{n}-2352n-1\overset{9}{\equiv }4^{n}-3n-1\Rightarrow 9\mid 4^{n}-3n-1$

این را هم با استقرا ثابت می کنیم:

پایه استقرا:

$n=0\Rightarrow9\mid 4^{0}-3\cdot 0-1 =0$

فرض استقرا:

$n=k\Rightarrow 9\mid 4^{k}-3k-1\Rightarrow 4^{k}\overset{9}{\equiv }3k+1$

حکم استقرا:

$\right. n=k+1\Rightarrow 9\mid 4^{k+1}-3(k+1)-1$

$4^{k+1}-3(k+1)-1=4\cdot 4^{k}-3k-4\overset{9}{\equiv }4(3k+1)-3k-4\overset{9}{\equiv }9k\overset{9}{\equiv }0$

-----------------------------------------

$\Rightarrow 9\mid 4^{n}-3(n)-1 \Rightarrow \forall n\in \mathbb{N}:9\mid 49^{n}-2352(n)-1$

برای 256 هم با استدلالی کاملا مشابه ثابت می کنیم .

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

د) این قسمت هم مشابه سوال قبل با استقرا به راحتی اثبات می شود.
به ازای a=7 (ج) هم ثابت می شود.

mahdisaj · 1389/6/31

الف )

$n^{4}+2n^{3}+2n^{2}+2n+1=(n+1)^{4}-2n(n+1)^{2}=(n+1)^{2}(n^{2}+1)$

بدیهی است که این عبارت مربع کامل نیست.

mahdisaj · 1389/6/31

ج)

$2^{3n+3}-7n-8=8.8^{n}-7n-8=8(8^{n}-1)-7n=8.7.(8^{n-1}+8^{n-2}+...+1)-7n=7(8(8^{n-1}+8^{n-2}+...+1)-n)$

حال کافیست ثابت کنیم عبارت

$(8(8^{n-1}+8^{n-2}+...+1)-n)$

بر 7 بخشپذیر است

$(8(8^{n-1}+8^{n-2}+...+1)-n)\equiv 8n-n\equiv 7n\equiv 0 (mod 7)$

پس مسیله اثبات شد

mahdisaj · 1389/6/31

د هم دقیقا عین ج است فقط به جای 7 باید یزاریم a و بجای 8 ؛ a+1 که براحتی قابل حله

برای هر n حسابی ...

rezashiri

Well-Known Member

mrbayat

New Member

mahdisaj

New Member

mahdisaj

New Member

mahdisaj

New Member