بیشترین مقدار ممکن برای xy

M_Sharifi · 1389/6/27

یه سوال:
فرض کنید

$x,y\in[0,12]$

و

$xy=(12-x)^2(12-y)^2$

. بیش ترین مقدار ممکن برای

$xy$

چقدر است؟

mfm12 · 1389/6/29

به نظر من 81 درسته.

AidinT · 1389/6/29

mfm12 گفت

اثبات کردین؟

ali_irysc · 1390/10/29

پاسخ : بیشترین مقدار ممکن برای xy

چه طوری حل میشه؟///

iraniangirl · 1390/10/30

پاسخ : بیشترین مقدار ممکن برای xy

اگه

$x\vee y=0\Rightarrow xy=min=0$

.پس

$x,y\in (0,12]$

.

$x,y\in \mathbb{R}^{+}\Rightarrow \sqrt{xy}=(12-x)(12-y)$

طبق نامساوی حسابی-هندسی داریم:

$\frac{x+y}{2}\geq \sqrt{xy}$

حالت تساوی یعنی

$max\left \{ xy \right \}$

وقتی اتفاق میفته که

$x=y$

.این رو در معادله اصلی قرار میدیم.

$x=y\Rightarrow x=(12-x)^{2}\Rightarrow x^{2}-25x+144=0\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=9\\ x=16 \end{matrix}\right.$

$x\in (0,12] \Rightarrow x=y=9\Rightarrow max\left \{ xy \right \}=81$