تئوری اعداد

[vahab]

تئوری اعداد تئوری اعداد number theory
شاخه ای از ریاضیات محض pure mathematics است که در مورد خواص اعداد صحیح integers
بحث می کند و حاوی بسیاری مسائل است که حتی غیر ریاضیدانان به راحتی آنها را متوجه می شوند .به طور کلی ایـن شاخه ، مسائل مربوط به مطالعه اعداد صحیح را مطرح می کند. تئوری اعداد را می توان بنا به روشهای بررسی سؤالات به چندین بخش تقسیم کرد. مثلاً به سرفصل های تئوری اعداد مراجعه نمایید

• تئوری مقدماتی اعداد ،اعداد صحیح را بدون توجه به تکنیک های ریاضی به کار رفته در سایر شاخه ها بررسی می کند . مسائل بخش‌پذیری divisibility
  
  ، الگوریتم اقلیدسیEuclidean algorithm
  ، محاسبه ی بزرگترین مقسوم الیه مشترک greatest common divisors
  ، تجزیه ی اعداد به اعداد اول prime numbers
  ، جستجوی عدد تام perfect number و همنهشتی ها congruences
  در این رده هستند . نمونه ها قضیه ی کوچک فرما Fermat’s little theorem
  ، و قضیه ی اولر Euler’s theoremهستند و به طور عام قضیه ی باقیمانده ی چینی Chinese remainder theorem و قانون تقابل درجه ی دوم quadratic reciprocity هستند . خواص توابع ضربیmultiplicative functions مانند تابع موبیوس Mobius function و تابع اولر Euler's φ function
  و همینطور دنباله ی اعداد صحیح integer sequences مانند فاکتوریل هاfactorials
  و اعداد فیبوناچی Fibonacci numbers
  در همین حوزه بررسی میشوند . بسیاری از سؤالات در تئوری مقدماتی اعداد شدیداً عمیق هستند و نیاز به بازنگری هایی دارند . به عنوان نمونه : <o></o><o></o>
  [list:4f47cbae06][list:4f47cbae06]
• انگاره‌ی گلدباخ Goldbach conjecture
  که می‌گوید آیا هر عدد زوجی حاصل‌جمع دو عدد اول است یا نه. <o></o>
• انگاره‌ی کاتالان Catalan’s conjecture
  که در مورد توانهای متوالی اعداد صحیح است . <o></o>
• انگاره‌ی اعداد اول دوقلو Twin prime conjecture
  که در مورد بینهایت بودن اعداد اول دوقلو است. <o></o>
• انگاره‌ی کولاتز Collatz conjecture
  که در مورد تکرار ساده می‌باشد . <o></o>
• معادلات دیوفانتیDiophantine
  نیز هنوز تصمیم ناپذیر است. <o></o><o> </o>تئوری تحلیلی اعداد Analytic number theory
  ازحسابانcalculus و آنالیز مختلطcomplex analysis
  برای مطالعه‌ی اعداد صحیح استفاه می کند و با سؤالاتی در مورد اعداد صحیح دست و پنجه نرم می کند که در تئوری مقدماتی اعداد بررسی و بحث در مورد آن بسیار دشوار به نظر می‌رسد . قضیه ی اعداد اولprime number theorem
  و فرضیه ریمان Riemann hypothesis
  مثال هایی از آن هستند . مسئله ی وارینگ Waring’s problem
  ( که عدد صحیحی را به صورت جمع چند مربع یا مکعب چند عدد نشان می دهد ) ،انگاره‌ی اعداد اول دوقلو Twin prime conjecture
  (که تعداد بینهایت عدد اول با اختلاف 2 را پیدا می کند ) ، و فرضیه ی گلدباخGoldbach’s conjecture
  ( که عددهای زوج داده شده را به صورت مجموع دو عدد اول پیدا می کند ) با روشهای تحلیلی مورد حمله قرار گرفته شده اند . اثبات متعالی بودن transcendence
  ثابت های ریاضی ، مانند e
  و پی در بخش تئوری اعداد تحلیلی قرار دارند . بعضی ها حکم هایی در مورد اعداد متعالی را از محدوده ی مطالعات اعداد صحیح خارج می کنند ، در واقع مقادیر ممکن برای چند جمله ایها با ضریب های صحیح مانند e
  و پی به مبحث تقریب دیوفانتین Diophantine aproximation
  ارتباط نزدیک دارند ؛ و سؤال آنها این است که چگونه می توان یک عدد حقیقی داده شده را با یک عدد گویا rational تقریب زد ؟ <o></o>
  <o></o>
  [list:4f47cbae06]
• تئوری جبری اعداد ، مفهوم عدد را به اعداد جبری algebraic numbers
  که همان ریشه های چند جمله ایها با ضرایب گویا rational coefficient
  هستند گسترش می‌دهد.در این حوزه مباحثی همانند اعداد صحیح به نام اعداد صحیح جبری algebraic integers
  وجود دارد . در اینجا لازم نیست به صورت های آشنای اعداد صحیح ، ( مانند تجزیه یکتا the unique factorization
  ) پایبند باشیم .مزیت روش استفاده شده --تئوری گالوا Galois theory
  ، میدان همانستگی field cohomology
  ، تئوری رده ی میدان class field theory
  ، نمایش گروه ها group representations
  و L
  -تابع‌ها L-functions
  این است که به ما اجازه می دهدبرای این رده از اعداد ، این ترتیب را تا حدودی بپوشانیم .تعدادی از سؤالات قضیه ی اعداد با مطالعه پیمانه p
  برای کلیه اعداد اول p
  مورد حمله قرار گرفته شده اند . (به میدانهای متناهی finite fields
  مراحعه کنید ) .به چنین چیزی localization
  می گویند که به ساختمان اعداد p
  ادیک p-adic numbers
  می انجامد . به این محدوده تحلیل موضعی local
  analysis
  می گویند که از تئوری اعداد جبری ناشی می شود . <o></o><o></o>
  [list:4f47cbae06]
• تئوری ترکیبیاتی اعداد به بررسی ، مطالعه و حل مساله‌های تئوری اعداد با استفاده از تکنیک‌های ترکیبیاتی می‌پردازد. پل اردوش کارهای بزرگی در این زمینه انجام داد. روش‌های جبری و تحلیلی در این شاخه از تئوری اعداد کاربرد فراوان دارند. <o></o><o></o>
  [list:4f47cbae06]
• تئوری هندسی اعداد همه ی فرم های هندسی را در بر می گیرد ؛و از قضیه ی مینکوسکی Minkowski’s theorem
  
  
  

[/list:u:4f47cbae06][/list:u:4f47cbae06][/list:u:4f47cbae06][/list:u:4f47cbae06][/list:u:4f47cbae06]

 

[IMOgoldmedal]

منبع هم مي نوشتي بد نبود.