تفاضل های |a_i-a_j|

M_Sharifi · 1389/2/29

یه سوال:
برای کدام اعداد

$n$

، می توان اعداد حقیقی

$a_1,a_2,\ldots,a_n$

را طوری پیدا کرد که

[center:3f5e35bbe7]

$\{|a_i-a_j|\mid 1\leq i<j\leq n\}=\left\{1,2,\ldots,{n\choose2}\right\}$

[/center:3f5e35bbe7]

mreza1370 · 1389/4/24

بدون اینکه از کلی بودن استدلالمان چیزی کم شود فرض می کنیم که
[center:7545fd62ba]

و چون تفاضل اعداد مهم است می توان فرض کرد که

حال توجه کنید که

و

اعدادی متمایز هستند. بنابراین

بنابراین جایگشت

از

وجود دارد که

حال از آنجایی که عدد

در مجموعه وجود دارد پس می توان فرض کرد

. حال چون عدد

در مجموعه وجود دارد. بنابراین

حال چون عدد

در مجموعه وجود دارد. بنابراین

.

[/center:7545fd62ba]

حال چون عدد

در مجموعه وجود دارد. بنابراین

یا

. که اگر

نباشد تناقض است. بنابراین در حالت کلی

.
برای هر عدد

مثالهای زیر وجود دارد.
[center:7545fd62ba]

[/center:7545fd62ba]