تقسیم چند جمله ای ها

assassin1 · 1394/9/3

فرض کنید pعددی اول باشد(

$p\neq 2$

),

$f(x)=(x^2-1)(x^3-1)...(x^{p-1}-1)(x^{p+1}-1), g(x)=1+x+x^2+...+x^{p-1}$

باشند. ثابت کنید باقی مانده fبرgبرابر pاست.

olampiad2 · 1394/9/3

پاسخ : تقسیم چند جمله ای ها

این دیگه مال امریکاست

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

فک نکنم کسی بلد باشه اثباتش خیلی سخته+

assassin1 · 1394/9/4

پاسخ : تقسیم چند جمله ای ها

مال امریکا نیست شما حلشو بلدید؟

olampiad2 · 1394/9/5

پاسخ : تقسیم چند جمله ای ها

مال تابستان امریکاست نه

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

مگر شما خودتون منبعشو نمی دونید؟

assassin1 · 1394/9/5

پاسخ : تقسیم چند جمله ای ها

خیررر:7::7:

Dadgarnia · 1394/9/6

پاسخ : تقسیم چند جمله ای ها

assassin1 گفت

فرض کنید

$\omega=\cos \frac{2\pi}{p}+i\sin \frac{2\pi}{p}$

در اینصورت

$g(\omega)=0$

. با یه محاسبه ساده داریم:

$\omega^k-1=2\sin \frac{k\pi}{p}(\cos (\frac{3\pi}{2}-\frac{k\pi}{p})+i\sin (\pi-\frac{k\pi}{p}))$

$\Rightarrow f(\omega)=\prod_{k=1}^{p-1}(\omega^k-1)=2^{p-1}(\cos (p-1)\pi+i\sin \frac{p-1}{2}\pi)\prod_{k=1}^{p-1}\sin \frac{k\pi}{p}$

$=2^{p-1}\prod_{k=1}^{p-1}\sin \frac{k\pi}{p}$

می دونیم که

$\sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}=\frac{e^{2ix}-1}{2ie^{ix}}$

و

$p=g(1)=\prod_{k=1}^{p-1}(e^{\frac{2ik\pi}{p}}-1)$

با استفاده از اینا داریم:

$2^{p-1}\prod_{k=1}^{p-1}\sin \frac{k\pi}{p}=2^{p-1}\prod_{k=1}^{p-1}\frac{e^{\frac{2ik\pi}{p}}-1}{2ie^{\frac{ik\pi}{p}}}=\frac{(-1)^{\frac{p-1}{2}}}{e^{\frac{i(p-1)\pi}{2}}}p=p$

پس اگه تعریف کنیم

$h(x)=f(x)-p$

داریم

$h(\omega)=0$

حالا چون

$p$

اوله نتیجه می گیریم که

$g(x)$

تحویل ناپذیره (اثباتش تو صفا هست) پس

$g(x)$

چند جمله ای مینیمال

$\omega$

هست در نتیجه

$g(x)|h(x)=f(x)-p$

پس حکم ثابت شد.

تقسیم چند جمله ای ها

assassin1

New Member

olampiad2

New Member

assassin1

New Member

olampiad2

New Member

assassin1

New Member

Dadgarnia

New Member