ثابت کنید ...

mohamadreza salehi · 1391/7/27

ثابت کنید در هر مثلث بزرگترین ضلع کوتاه ترین نیمساز را دارد این قضیه را برای میانه هم اثبات کنید (البته دوستان --من این با قضیه ی استوارت و یه سری نامساوی جبری حل کردم اما این سوال نباید به این شکل حل بشه گفتم شاید راه حل بهتری داشته باشید در ضمن خواهش میکنم جواب بدید

zz_torna2 · 1391/7/27

پاسخ : ثابت کنید ...

AE نیمساز A و BF نیمساز B و BC بزرگترین ضلع و محل تلاقی BF,AE برابر I و پای عمود I بر AC,BC به ترتیب K,L است:

$BC=Max\Rightarrow \widehat{A}=Max\Rightarrow \widehat{A}> \widehat{B}\Rightarrow \frac{\widehat{A}}{2}> \frac{\widehat{B}}{2}\Rightarrow BI> AI$

$\widehat{C}+\frac{\widehat{B}}{2}< \widehat{C}+\frac{\widehat{A}}{2}\Rightarrow \widehat{KFI}< \widehat{LEI}\Rightarrow sin(\widehat{KFI})< sin(\widehat{LEI})\Rightarrow FI> EI$

حالا دو نتیجه رو جمع زده داریم BF>AE

$\boxed {}$

mohammadi9 · 1391/7/27

پاسخ : ثابت کنید ...

من اثبات کردیم! فقط با قضیه نیمساز و کمی هم استفاده از فرض!!!

ولی خودم حلش کردم :دی

mohammadi9 · 1391/7/27

پاسخ : ثابت کنید ...

فرض:

$a>c>b$

حکم :

$d_a<d_b$

*************************
طبق قضیه نیمساز ها داریم :

$t=\frac {bc}{a+c}$

$z=\frac {ab}{a+c}$

$x=\frac {ac}{b+c}$

$y=\frac {ab}{b+c}$

**************************
پس داریم : (** 2 ** )

$ab>bc\rightarrow z>t$

$ac>ab\rightarrow x>y$

**************************

$a+c>b+c \rightarrow \frac{1}{a+c}<\frac{1}{b+c}$

از طرفی می دانیم :

$ac>bc$

اگر در رابطه بالا ضرب کنیم داریم :

$ab=ab \rightarrow \frac{ab}{b+c}>\frac{ab}{a+c} \rightarrow y>z$

$ac>bc \rightarrow \frac{ac}{b+c}>\frac{bc}{a+c}\rightarrow x>t$

طبق ( ** 2 ** ) می توان نتیجه گرفت که :

$x>y>z>t$

***************************

طبق قضه می دانیم که :

$AD^2=AB.AC-BD.DC\rightarrow d_a ^2=bc-xy$

$BD'^2=BA.BC-AD'.D'C\rightarrow d_b ^2=ac-zt$

$ac>bc$

$xy>zt$

در نتیجه داریم :

$ac+xy>bc+zt\rightarrow ac-zt>bc-xy$

پس خواهیم داشت :

$d_b ^2 > d_a ^2 \rightarrow d_b > d_a$

mohamadreza salehi · 1391/7/27

پاسخ : ثابت کنید ...

ممنونم اما شما هم از قضیه ی استوارت استفاده کردینا!!ولی در هر صورت ممنون

mohammadi9 · 1391/7/27

پاسخ : ثابت کنید ...

نه از استوارت استفاده نکردم!! کجاش استوارت هست ؟! !

mohamadreza salehi · 1391/7/27

پاسخ : ثابت کنید ...

منظور من مستقیم نبود اول باید با استوارت ثابت کنید da[SUP]2[/SUP]=... بعد استفاده کنید البته شاید شما جور دیگه ای اثبات کنین ولی من که ای طور اثبات کردم

ثابت کنید ...

mohamadreza salehi

New Member

zz_torna2

New Member

mohammadi9

New Member

mohammadi9

New Member

mohamadreza salehi

New Member

mohammadi9

New Member

mohamadreza salehi

New Member