جواب های معادله در اعداد حقیقی

M_Sharifi · 1389/6/9

یه سوال:
همه ی جواب های معادله ی

[center:40cb33f694]

$\left\{\begin{matrix} \frac{\sqrt{x+y}+\sqrt{x+z}}{\sqrt{y+z}}+\frac{\sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}}{\sqrt{x+z}}=14-4\sqrt{x+z}-4\sqrt{y+z}\\\\ \sqrt{x+y}+\sqrt{y+z}+\sqrt{z+x}=4 \end{matrix}\right.$

[/center:40cb33f694]
را در مجموعه ی اعداد حقیقی به دست آویرد.

mahanmath · 1389/6/9

بعد از جمع زدن یه دو با دو طرف معادله ی اول از حسابی- هندسی 4 تایی استفاده کنید

mrbayat · 1389/6/9

[center:84ed867c82]
[/center:84ed867c82]

$\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{y+z}}+\frac{1}{\sqrt{x+z}}+\sqrt{y+z}+\sqrt{x+z}=4$

$\frac{4-\sqrt{y+z}}{\sqrt{y+z}}+\frac{4-\sqrt{x+z}}{\sqrt{x+z}}=14-4\sqrt{y+z}-4\sqrt{x+z}$

$\frac{1}{\sqrt{y+z}}+\frac{1}{\sqrt{x+z}}+\sqrt{y+z}+\sqrt{x+z}\geq 4\Rightarrow 4\geq 4$

$AM-GM\Rightarrow$

$\Rightarrow \sqrt{2x}+2=4\Rightarrow x=2\Rightarrow z=1-x=-1\Rightarrow (x,y,z)=(2,2,-1)$

$\Rightarrow x=y , x+z=1$

$\Rightarrow \sqrt{y+z}=\sqrt{x+z}=1$

شرط تساوی

جواب های معادله در اعداد حقیقی

M_Sharifi

راهبر ریاضی

mahanmath

New Member

mrbayat

New Member