Aref.salmi: 1)الف: درمیان اعداد ...... _1111 _111 _11_1 دست کم دوتا در تقسیم برn باقیمانده های یکسان دارند ب:توجه کنید که (11....1) =10^k-1+10^K+2+.....+10+1=10^k-1/9 چون (10,n)=1 پس (10,9n)=1 درنتیجه 9n|10φ(9n)-1 پس کافی است فرض کنید k=φ(9n) Aref.salmi: 10
2) فرض کنید a1,a2و........و ak اعداد طبیعی باشند و (a1و...... وak) =1 ثابت کنید (a1+a2+..... ak-1)!/a1!a2!....ak! عددی صحیح است. Aref.salmi: 14
3)فرض کنید a, bدوعدد طبیعی باشند ب طوری ک (a+1)/b+(b+1)/a هم عددی طبیعی باشند ثابت کنید (a, b) ≤√a+b Aref.salmi: 3
۴)ابتدا ثابت کنید که به ازای هر عدد طبیعی مانندmعددی طبیعی مانند dوجود دارد که به ازای هر 1≤i≤m و id توان kامی کامل باشد (k≥2) برای اثبات حکم از استقرا رویmاستفاده کنید اگر id=mi^kiوki≥2و1≤i≤m فرض کنید d'=(d(m+1)d)^kوk=[k,....,km] وثابت کنید 'd ب ازای m+1ویژگی مورد نظر را دارد برای اثبات حکم مسئله فرض کنید m=n(n-1)/2 و از آنچه ثابت کردیم استفاده کنید.
2) فرض کنید a1,a2و........و ak اعداد طبیعی باشند و (a1و...... وak) =1 ثابت کنید (a1+a2+..... ak-1)!/a1!a2!....ak! عددی صحیح است. Aref.salmi: 14
3)فرض کنید a, bدوعدد طبیعی باشند ب طوری ک (a+1)/b+(b+1)/a هم عددی طبیعی باشند ثابت کنید (a, b) ≤√a+b Aref.salmi: 3
۴)ابتدا ثابت کنید که به ازای هر عدد طبیعی مانندmعددی طبیعی مانند dوجود دارد که به ازای هر 1≤i≤m و id توان kامی کامل باشد (k≥2) برای اثبات حکم از استقرا رویmاستفاده کنید اگر id=mi^kiوki≥2و1≤i≤m فرض کنید d'=(d(m+1)d)^kوk=[k,....,km] وثابت کنید 'd ب ازای m+1ویژگی مورد نظر را دارد برای اثبات حکم مسئله فرض کنید m=n(n-1)/2 و از آنچه ثابت کردیم استفاده کنید.