دایره ی mixtilinear بر دایره ی محیطی مثلث دیگر مماس است.

Aref · 1391/1/6

$D$

نقطه ای روی کمان بزرگتر

$BC$

از دایره ی محیطی مثلث

$\overset{\triangle}{ABC}$

است. از نقطه ی

$D$

دو مماس به دایره ی محاطی مثلث

$\overset{\triangle}{ABC}$

می زنیم تا خط

$BC$

را در دو نقطه ی

$E,F$

قطع کند.
ثابت کنید دایره ای وجود دارد که بر دایره های محیطی مثلث های

$\overset{\triangle}{ABC},\overset{\triangle}{DEF}$

مماس داخل باشد و همچنین بر خط های

$DE,DF$

نیز مماس باشد.
ویرایش1:

Proposed by Aref Sadeghi
البته شاید قبلا کشف شده باشه. ولی من که خودم جایی ندیدم.:4:
ویرایش 2:
حکم برای همه ی نقاط روی دایره ی محیطی مثلث

$\overset{\triangle}{ABC}$

درسته.
ولی اگه

$D$

نقطه ای روی کمان کوچکتر

$BC$

اونوقت دایره ای وجود دارد که بر دایره ی محیطی مثلث

$\overset{\triangle}{ABC}$

مماس داخل باشد و بر دایره ی محیطی مثلث

$\overset{\triangle }{DEF}$

مماس خارج باشد و همچنین بر خط های

$DE,DF$

نیز مماس باشد.
ویرایش 3:
کمان کوچکتر منظور اون کمانی است که نقطه ی

$A$

بر آن قرار نداشته باشد.

Aref · 1391/1/6

پاسخ : دایره ی mixtilinear بر دایره ی محیطی مثلث دیگر مماس است.

اینو سریعتر حل کنید که می خوام قسمت دوم سوالم رو هم Publish کنم.

hkh74 · 1391/1/8

پاسخ : دایره ی mixtilinear بر دایره ی محیطی مثلث دیگر مماس است.

در واقع باید ثابت کنیم دایره ی mixtilinear (متناظر با راس

$D$

از) مثلث

$\Delta DEF$

بر دایره ی محیطی

$\Delta ABC$

مماس است.

فرض کنیم

$DE,DF$

دایره ی محیطی

$\Delta ABC$

را به ترتیب در

$E',F'$

قطع کنند، ثابت می کنیم دایره ی mixtilinear (متناظر با راس

$D$

از) مثلث

$\Delta DEF$

بر دایره ی mixtilinear (متناظر با راس

$D$

از) مثلث

$\Delta DE'F'$

منطبق است.

برای اثبات هم از دو قضیه ی زیر استفاده می کنیم:
1) طبق Poncelet's Porism -- from Wolfram MathWorld دایره ی محاطی

$\Delta DE'F',\Delta ABC$

یکسانند.
2) در مثلث دلخواه

$\Delta ABC$

، اگر عمود بر

$AI$

در

$I$

دو ضلع

$AB,AC$

را به ترتیب در

$C',B'$

قطع کند، آنگاه دایره ی mixtilinear راس

$A$

بر دو ضلع

$AB,AC$

به ترتیب در

$C',B'$

مماس است.

از (1) به دست می آید دایره های محاطی

$\Delta ABC,\Delta DEF,\Delta DE'F'$

یکسانند و راس

$D$

در دو مثلث

$\Delta DEF,\Delta DE'F'$

مشترک است پس طبق (2) نقاط برخورد دایره ی mixtilinear دو مثلث مذکور با اضلاع

$DE,DF$

بر هم منطبقند و در نتیجه دو دایره ی mixtilinear بر هم منطبقند.

بنابر این دایره ی mixtilinear (متناظر با راس

$D$

از) مثلث

$\Delta DEF$

(منطبق بر دایره ی mixtilinear (متناظر با راس

$D$

از) مثلث

$\Delta DE'F'$

) بر دایره های محیطی

$\Delta DEF,\Delta ABC$

و بر

$DE,DF$

مماس است.

mimilad · 1391/1/8

پاسخ : دایره ی mixtilinear بر دایره ی محیطی مثلث دیگر مماس است.

میشه قسمت دومش هم بزارید استاد ؟ (قبلا کشف شده بوده چون سال پیش اینو معلممون سر کلاس مطرح کرد ولی یه قسمتی بوده )

Aref · 1391/1/8

پاسخ : دایره ی mixtilinear بر دایره ی محیطی مثلث دیگر مماس است.

hkh74 گفت

در واقع باید ثابت کنیم دایره ی mixtilinear (متناظر با راس

$D$

از) مثلث

$\Delta DEF$

بر دایره ی محیطی

$\Delta ABC$

مماس است.

فرض کنیم

$DE,DF$

دایره ی محیطی

$\Delta ABC$

را به ترتیب در

$E',F'$

قطع کنند، ثابت می کنیم دایره ی mixtilinear (متناظر با راس

$D$

از) مثلث

$\Delta DEF$

بر دایره ی mixtilinear (متناظر با راس

$D$

از) مثلث

$\Delta DE'F'$

منطبق است.

برای اثبات هم از دو قضیه ی زیر استفاده می کنیم:
1) طبق Poncelet's Porism -- from Wolfram MathWorld دایره ی محاطی

$\Delta DE'F',\Delta ABC$

یکسانند.
2) در مثلث دلخواه

$\Delta ABC$

، اگر عمود بر

$AI$

در

$I$

دو ضلع

$AB,AC$

را به ترتیب در

$C',B'$

قطع کند، آنگاه دایره ی mixtilinear راس

$A$

بر دو ضلع

$AB,AC$

به ترتیب در

$C',B'$

مماس است.

از (1) به دست می آید دایره های محاطی

$\Delta ABC,\Delta DEF,\Delta DE'F'$

یکسانند و راس

$D$

در دو مثلث

$\Delta DEF,\Delta DE'F'$

مشترک است پس طبق (2) نقاط برخورد دایره ی mixtilinear دو مثلث مذکور با اضلاع

$DE,DF$

بر هم منطبقند و در نتیجه دو دایره ی mixtilinear بر هم منطبقند.

بنابر این دایره ی mixtilinear (متناظر با راس

$D$

از) مثلث

$\Delta DEF$

(منطبق بر دایره ی mixtilinear (متناظر با راس

$D$

از) مثلث

$\Delta DE'F'$

) بر دایره های محیطی

$\Delta DEF,\Delta ABC$

و بر

$DE,DF$

مماس است.

مرسی درسته.
قسمت دوم:

$w_D$

را دایره ی Mixtilinear تعریف شده متناظر نقطه ی D نام گذاری کنید. ثابت کنید که با تغییر D روی دایره ی محیطی ABC، تمامی

$w_D$

ها بر دو دایره ی ثابت مماس خواهند بود. (یکیش دایره ی محیطی ABC هستش.)

دایره ی mixtilinear بر دایره ی محیطی مثلث دیگر مماس است.

Aref

New Member

Aref

New Member

hkh74

New Member

mimilad

New Member

Aref

New Member