دستگاه سه معادله، سه مجهول

[M_Sharifi]

یه سوال قشنگ:
همه ی اعداد حقیقی x,y,z را بیابید که
[center:29e82d0b86]

[/center:29e82d0b86]

 

[mohammad2004]

با سلام خدمت آقای شریفی و تشکر از سوالای خوبتون
من نمیدونم چجوری ریاضی تایپ کنم فقط ایده های اصلیمو مینویسم.
x^1/2 =a , y^1/2 =b , z^1/2 =c
معادله اول و دوم رو جمع میکنیم و واسه a و معکوسش نابرابری میانگین میزنیم نتیجه میده b کمتر یا مساوی 2 .
حالا تو معادله دوم نتیجه میگیریم c بیشتر یا مساوی سه برابر a .
حالا تو معادله سوم باز هم b رو قرار میدیم (چون میدونیم دوبرابر معکوس b بیشتر یا مساوی 1)
نتیجه میگیریم c-1/a کمتر یا مساوی 2 حالا میدونیم c بیشتر یا مساوی سه برابر a
پس a-1 ضربدر 3a+1 کمتر یا مساوی صفره . و چون a مثبته نتیجه میشه a کمتر یا مساوی 1
تو اولی جایگذاری می کنیم و نتیجه میگیریم سه برابر b بیشتر یا مساوی دوبرابر c پس c کمتر یا مساوی 3
حالا با جمع هر سه معادله نتیجه میشه a+b+c = 6
و چون a از 1 b از 2 c از 3 کمترن پس تنها حالت حالت تساوی هر سه نابرابریه پس :
x=1
y=4
z=9

 

[M_Sharifi]

با سلام خدمت آقای شریفی و تشکر از سوالای خوبتون
من نمیدونم چجوری ریاضی تایپ کنم فقط ایده های اصلیمو مینویسم.
x^1/2 =a , y^1/2 =b , z^1/2 =c
معادله اول و دوم رو جمع میکنیم و واسه a و معکوسش نابرابری میانگین میزنیم نتیجه میده b کمتر یا مساوی 2 .
حالا تو معادله دوم نتیجه میگیریم c بیشتر یا مساوی سه برابر a .
حالا تو معادله سوم باز هم b رو قرار میدیم (چون میدونیم دوبرابر معکوس b بیشتر یا مساوی 1)
نتیجه میگیریم c-1/a کمتر یا مساوی 2 حالا میدونیم c بیشتر یا مساوی سه برابر a
پس a-1 ضربدر 3a+1 کمتر یا مساوی صفره . و چون a مثبته نتیجه میشه a کمتر یا مساوی 1
تو اولی جایگذاری می کنیم و نتیجه میگیریم سه برابر b بیشتر یا مساوی دوبرابر c پس c کمتر یا مساوی 3
حالا با جمع هر سه معادله نتیجه میشه a+b+c = 6
و چون a از 1 b از 2 c از 3 کمترن پس تنها حالت حالت تساوی هر سه نابرابریه پس :
x=1
y=4
z=9

کاملا درسته.

 

[M_Sharifi]

یه راه حل دیگه:
فرض کنید:
[center:dd56d75239]

[/center:dd56d75239]بنابراین
[center:dd56d75239]

با جمع بستن این سه نابرابری نتیجه میگیریم

.ضمن این که اگر سه معادله را به ترتیب در a و b و c ضرب کنیم و معادله های به دست آمده را با هم جمع کنیم، خواهیم داشت

، یعنی

. بنابراین

از طرفی طبق نابرابری واسطه ی حسابی، هندسی،

بنابراین، نابرابری باید به تساوی تبدیل شود و لذا

، یعنی

.​

[/center:dd56d75239]​

​

​