دستگاه معادلات

M_Sharifi · 1389/6/6

یه سوال:
دستگاه معادلات

[center:0e45f78dc0]

$\left\{\begin{matrix} x^3+4y=y^3+16x\\ \frac{1+y^2}{1+x^2}=5 \end{matrix}\right.$

[/center:0e45f78dc0]
را در مجموعه ی اعداد حقیقی حل کنید.

rezashiri · 1389/6/7

داریم:

$\Rightarrow y(y-2)(y+2)=x(x-4)(x+4) {\color{red} (1)}$

$x^{3}+4y=y^{3}+16x\Rightarrow y^{3}-4y=x^{3}-16y\Rightarrow y(y^{2}-4)=x(x^{2}-16)$

و از طرفی داریم :

$\Rightarrow if({\color{red} x=0})\Rightarrow {\color{blue} y=\pm 2}$

$1+y^{2}=5+5x^{2}\Rightarrow y^{2}-4=5x^{2}\Rightarrow (y-2)(y+2)=5x^{2}{\color{red} (2)}$

حال از 1و2 داریم:

$5x^{2}y=x(x-4)(x+4)\Rightarrow 5xy=x^{2}-16\Rightarrow y=\frac{x^{2}-16}{5x}$

حال با جایگذاری y در فرض دوم مسئله(رابطه دوم دستگاه) داریم:

$\120dpi \frac{1+\frac{(x^{2}-16)^{2}}{25x^{2}}}{1+x^{2}}=5\Rightarrow 124x^{4}+132x^{2}-256=0$

که با فرض

$t=x^{2}$

و چون جمع مضارب در

$124x^{4}+132x^{2}-256=0$

برابر صفر است یکی ار ریشه ها برابر 1 و دیگری منفی است که قابل قبول نیست حال داریم:

$t=1\Rightarrow x^{2}=1\Rightarrow {\color{blue} x=1}\Rightarrow y=\frac{1-16}{5}\Rightarrow {\color{red} y=-3}$

یا

$t=1\Rightarrow t=x^{2}\Rightarrow {\color{red} x=-1} \Rightarrow {\color{blue} y=3}$

پس در کل این دستگاه 4 جواب حقیقی برای x,y دارد.

درسته؟!؟

mahdisaj · 1389/6/7

ببخشید من فکر کنم تو خط آخر که نوشتین t=1 بعدش یکمی اشتباه کردید در این صورت x^2=1 پس x=1 , x=-1 که دو حالت بوجود می آورد

rezashiri · 1389/6/7

mahdisaj گفت

همین الآن داشتم درستش می کردم که شما گفتین ....

بازم ممنون.