دنباله اکیدا صعودی

math · 1391/6/27

برای هر عدد طبیعیه

$k$

ثابت کنید دنباله اکیدا صعودی وجود دارد به طوری که

$a_{n+1}\mid a_{n}^{2}+ k$

و

$a_{n}\mid a_{n+1}^{2}+k$

goodarz · 1391/6/27

پاسخ : دنباله اکیدا صعودی

تقریبا با اطمینان میتونم بگم ویتا جامپینگه! لااقل واسه k=1ش روکه مطمئنم :4:

mahanmath · 1391/6/27

پاسخ : دنباله اکیدا صعودی

:4:
چه عجب ! یه سوال

بامزه بود :15: ففط یه دنباله بازگشتی میخوایم که :

$\begin{vmatrix} a_{n+2} &a_{n+1} \\ a_{n+1} & a_n \end{vmatrix} =k$

مثلٍ ...؟

math · 1391/6/27

پاسخ : دنباله اکیدا صعودی

mahanmath گفت

میشه یکم بیشتر توضیح بدین

من یک راه حلی رفتم که یکم پیچیده شد

اول یک دنباله رو به صورت عام در نظر گرفتم بعد ثابت کردم که برای هر دنباله یک k وجود داره بعد با استفاده از این ثابت کردم که برای هر k حداقل یک دنباله وجود داره :4

البته راه حل من خیلی ارزش داشت چون با باقی مانده چینی بود و ندید 7 میگرفت ):4::4:

math · 1391/6/27

پاسخ : دنباله اکیدا صعودی

mathh گفت

برای هر k بینهایت دنباله وجود دارد

برای این سوال راه حل من جواب نمیدهد !!!

کسی راه حلی دارد ؟؟؟

mahanmath · 1391/6/27

پاسخ : دنباله اکیدا صعودی

به وضوح بی‌نهایت عدد طبیعی یافت میشن که داشته باشیم

$a_1 a_3 = a_2{}^2 + k$

, مثلا

$(1,t,t^2+k)$

حالا دنباله بازگشتی

$a_{n+2} = \lambda a_{n+1} - a_n$

رو در نظر بگیرید ، این رابطه معادل اینه که :

$\begin{bmatrix} a_{n+1} &a_{n} \\ a_{n+2}&a_{n+1} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{n+2} & a_{n+1} \\ a_{n+3} & a_{n+2} \end{bmatrix}$

پس رابطه زیر درسته :

$\begin{bmatrix} a_2 & a_1 \\ a_3 & a_2 \end{bmatrix} {\begin{bmatrix} \lambda & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}} ^n = \begin{bmatrix} a_{n+2} & a_{n+1} \\ a_{n+3} & a_{n+2} \end{bmatrix}$

خب،از اونجایی که دترمینان

$\begin{bmatrix} \lambda & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}$

برابر یک هست پس با توجه به ضربی بودن دترمینان ، به ازای هر عدد طبیعی

$n$

داریم ، دترمینان

$\begin{bmatrix} a_{n+1} & a_{n} \\ a_{n+2} & a_{n+1} \end{bmatrix}$

نیز برابر

$k$

است ، یعنی‌ :

$a_{n+2}a_n = a_{n+1}^2 +k$

این رابطه هر دوی اون رابطه‌های خواسته شده در مساله رو نتیجه میده .

math · 1391/7/2

پاسخ : دنباله اکیدا صعودی

mahanmath گفت

به وضوح بی‌نهایت عدد طبیعی یافت میشن که داشته باشیم

$a_1 a_3 = a_2{}^2 + k$

, مثلا

$(1,t,t^2+k)$

حالا دنباله بازگشتی

$a_{n+2} = \lambda a_{n+1} - a_n$

رو در نظر بگیرید ، این رابطه معادل اینه که :

$\begin{bmatrix} a_{n+1} &a_{n} \\ a_{n+2}&a_{n+1} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{n+2} & a_{n+1} \\ a_{n+3} & a_{n+2} \end{bmatrix}$

پس رابطه زیر درسته :

$\begin{bmatrix} a_2 & a_1 \\ a_3 & a_2 \end{bmatrix} {\begin{bmatrix} \lambda & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}} ^n = \begin{bmatrix} a_{n+2} & a_{n+1} \\ a_{n+3} & a_{n+2} \end{bmatrix}$

خب،از اونجایی که دترمینان

$\begin{bmatrix} \lambda & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix}$

برابر یک هست پس با توجه به ضربی بودن دترمینان ، به ازای هر عدد طبیعی

$n$

داریم ، دترمینان

$\begin{bmatrix} a_{n+1} & a_{n} \\ a_{n+2} & a_{n+1} \end{bmatrix}$

نیز برابر

$k$

است ، یعنی‌ :

$a_{n+2}a_n = a_{n+1}^2 +k$

این رابطه هر دوی اون رابطه‌های خواسته شده در مساله رو نتیجه میده .

من یه دوتا مشکل دارم چرا اون دنباله معادل

$\begin{bmatrix} a_{n+1} &a_{n} \\ a_{n+2}&a_{n+1} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda & 1 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{n+2} & a_{n+1} \\ a_{n+3} & a_{n+2} \end{bmatrix}$

است؟

یکی دیگه هم که چرا دنباله صعودیه ؟

mahanmath · 1391/7/4

پاسخ : دنباله اکیدا صعودی

چون ضرب ۲ ماتریس (اینجا ۲ در ۲) اینطوریه :

$\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x & y \\ z & t \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ax+bz & ay+bt \\ cx+dz & cy+dt \end{bmatrix}$

برای صعودی بودن هم اگه لاندا رو یه عدد طبیعی بزرگتر از ۲ انتخاب کنید و ۳ تا عضو اول صعودی باشن ، به استقرا راحت ثابت می‌شه که دنبال صعودیه

دنباله اکیدا صعودی

math

New Member

goodarz

Well-Known Member

mahanmath

New Member

math

New Member

math

New Member

mahanmath

New Member

math

New Member

mahanmath

New Member