دنباله u ...

behrooz1373 · 1389/3/19

دنباله u به ازای اعداد طبیعی a,b به اینصورت تعریف می شود [center:0f2155c84d]

$u_{n}^{n+1}=(a+b)u_{n-1}^{n}-abu_{n-2}^{n-1} , u_{0}=2 , u_{1}=\sqrt{a+b}$

[/center:0f2155c84d][center:0f2155c84d]

تمام اعداد a,b را بیابید که به ازای آنها تمام جملات دنباله فوق طبیعی شوند.

[/center:0f2155c84d]

M_Sharifi · 1389/3/20

با نوشتن معادله مشخصه ی دنباله و یا استقرا نتیجه می گیریم که

$u_n=\root{n+1}\of{a^n+b^n}$

. حالا فرض می کنیم

$(a,b)=d$

و

$u_n=\root{n+1}\of{d^n(a_1^n+b_1^n)}$

، که

$\gcd(a_1,b_1)=1$

. اگر

$p$

عامل اول فردی از

$a_1+b_1$

و

$n$

عددی زوج باشد،

$||d^n(a_1^n+b_1^n)||_p=n||d||_p$

که به وضوح برای

$n$

های بزرگ این عدد بر

$n+1$

بخش پذیر نمی شود و لذا

$u_n$

نیز صحیح نمی شود.
بنابراین

$a_1+b_1$

توانی از 2 است. واضحه که

$d$

هم نمی تونه عامل غیر از 2 داشته باشه. ضمن این که اگه

$n$

عددی زوج باشد،

$||d^n(a_1^n+b_1)^n||_2=n||d||_2+1$

که باید بر

$n+1$

بخش پذیر شود. پس

$||d||_2-1$

هم باید بر

$n+1$

بخش پذیر شود که نتیجه می گیریم

$d=2$

. در نهایت اگه

$n$

رو فرد در نظر بگیریم،

$||d^n(a_1^n+b_1^n)||_2=n+||a_1+b_1||_2$

. پس

$||a_1+b_1||_2-1$

هم بر

$n+1$

بخش پذیر است، که نتیجه می گیریم

$a_1=b_1=1$

. یعنی

$a=b=2$

.

دنباله u ...

behrooz1373

New Member

M_Sharifi

راهبر ریاضی