دو حدس

[hkh74]

لطفا اگر مطلبی مرتبط با این سوال هندسه دیده بودید بگید، البته این سوال فقط حدسه اما sketch اون در تمام حالت ها درست جواب داده:

اگر

خط دلخواهی باشد که از مرکز دایره ی محیطی(

) مثلث

می گذرد و

نقطه ای متغیر روی آن باشد، آنگاه با تغییر

دایره ی محیطی مثلث سوایی مزدوج هم زاویه ی

( یعنی

) از نقطه ی ثابتی می گذرد. این نقطه ی ثابت همان orthopole خط

است.
این هم sketch این سوال: http://s1.picofile.com/file/7340887739/Conjecture1.gsp.html

سوال بعدی که به نظر می رسه اثباتش راحت تر از قبلی باشه(البته این هم حدسه):

نقطه ی دلخواه

در صفحه ی مثلث

را در نظر بگیرید، مزدوج هم زاویه ی آن نسبت به مثلث

را

می نامیم. ثابت کنید خط واصل

و مزدوج هم زاویه اش نسبت به مثلث پایی

با

موازی است.(

مرکز دایره ی محیطی

)
sketch این سوال: http://s2.picofile.com/file/7340888167/Conjecture2.gsp.html

 

[Aref]

پاسخ : دو حدس

سوال بعدی که به نظر می رسه اثباتش راحت تر از قبلی باشه(البته این هم حدسه):

نقطه ی دلخواه

در صفحه ی مثلث

را در نظر بگیرید، مزدوج هم زاویه ی آن نسبت به مثلث

را

می نامیم. ثابت کنید خط واصل

و مزدوج هم زاویه اش نسبت به مثلث پایی

با

موازی است.(

مرکز دایره ی محیطی

)
sketch این سوال: https://sites.google.com/site/hkh74629/Conjecture2.gsp?attredirects=0&d=1

حلش کردم! قشنگ بود!
مثل خودت جواب میدم :10: ولی به لحن خودم.
در حل از دو نکته استفاده کنید:
1) مثلث پایی، مثلث بدی است. به جای آن می توانیم ازمثلث

-مثلثی که از قرینه کردن

نسبت به اضلاع مثلث

به دست می آید- استفاده کنیم و

-مزدوج هم زاویه ی

نسبت به مثلث

- را به جای

استفاده کنیم.
دلیل آن هم واضح است چون

مرکز تجانس مثلث پایی اش و

است. و

و

هم دو نقطه ی متجانس اند. پس هم خط اند. پس ما ثابت می کنیم که

.


2) فکر کنم دیگه واضحه باید چیکار کنیم.

رو نسبت به اضلاع مثلث

قرینه کنید تا مثلث

به دست بیاد.
حالا با زاویه بازی ثابت کنید دو مثلث

و

متجانس اند و همچنین ثابت کنید که دو نقطه ی

و

یک نقش رو در مثلث های

و

دارند.
حالا کافیه که ثابت کنیم که

مرکز دایره ی محیطی

ه. که اینم بدیهیه.

 

[Aref]

پاسخ : دو حدس

سوال اول سوال خیلی سختیه. قبلا هم پست شده، ولی راه حلی نداشته. البته mahanmath نوشته که با مختلط حل میشه. البته میدونم که یه راه حل هندسی داره.
همین سواله:
http://www.irysc.com/forum/t6485/