رقابت های گزینشی آمریکا

[Aref]

نقطه P درون مثلث ABC قرار دارد.B=90 و هر یک از اضلاع با زاویه120 مقابل نقطه ی P قرار گرفته اند. اگر PA=10 , PB=6 آنگاه
PC چقدر است؟

 

[mohammad_72]

طبق قضيه‌ي كسينوسها داريم :
PA^2 + PB^2 + PA.PB = AB^2
PB^2 + PC^2 + PB.PC = BC^2
PC^2 + PA^2 + PC.PA = CA^2
اما طبق فيثاغورث داريم : AB^2 + BC^2 = CA^2
با جاگذاري به دست مي آوريم : PC = 33

 

[Aref]

طبق قضيه‌ي كسينوسها داريم :
PA^2 + PB^2 + PA.PB = AB^2
PB^2 + PC^2 + PB.PC = BC^2
PC^2 + PA^2 + PC.PA = CA^2
اما طبق فيثاغورث داريم : AB^2 + BC^2 = CA^2
با جاگذاري به دست مي آوريم : PC = 33

جواب محمد درسته

 

[Aref]

یک سوال دیگر از رقابت های گزینشی آمریکا
در یک دایره وتر CD, قطر AB را در H قطع می کند و بر آن عمود است. طول های AB و CD مقادیر صحیحی دارند.
طول AB, یک عدد دو رقمی است و طول CD, از عوض کردن رقم های AB بدست می آید. طول OH یک عدد گویای غیر صفر است. طول AB را بدست آورید.

 

[mohammad_72]

با استفاده از قوت H نتيجه مي‌شه :
AB = 65

 

[Aref]

با استفاده از قوت H نتيجه مي‌شه :
AB = 65

جواب شما درسته اما راه حل؟

 

[mohammad_72]

فرض كنيد : AB = xy , CD = yx
بر اساس قوت نقطه‌ي H داريم : R[SUP]2[/SUP] - OH[SUP]2[/SUP] = AH.HB = CH.HD = (CD/2)[SUP]2[/SUP]
بنابراين : AB[SUP]2[/SUP] - CD[SUP]2[/SUP] = 4OH[SUP]2[/SUP] اما داريم (4OH[SUP]2[/SUP] = AB[SUP]2[/SUP] - CD[SUP]2[/SUP] = 99(x[SUP]2[/SUP]-y[SUP]2[/SUP]
پس x[SUP]2[/SUP]-y[SUP]2[/SUP] بر 11 بخشپذيره و چون x≠y پس x+y = 11
بنابراين AB يكي از اعداد 65 و 74 و 83 و 92 مي‌تونه باشه ولي
فقط 65 در شرط مربع كامل بودن 99*(x[SUP]2[/SUP]-y[SUP]2[/SUP]) صدق ميكنه