ریشه ی چند جمله ایه درجه 3

math · 1391/7/19

$\left | a \right |,\left | b \right |,\left | c \right |\leq 10 \, \, , \: a,b,c\in \mathbb{Z}$

فرض کنید :

$p(x)=x^{3}+ax^{2}+bx+c$

میدانیم

$\left |p(2+\sqrt{3}) \right |< 0/0001$

ثابت کنید

$p(2+\sqrt{3})=0$

.

hkh74 · 1391/7/20

پاسخ : ریشه ی چند جمله ایه درجه 3

$p(2+\sqrt{3})=(15+4a+b)\sqrt{3}+(11+3a+b+c)$

$|p(2+\sqrt{3})|<10^{-4} \\ \Leftrightarrow -10^{-4}-(11+3a+b+c)<(15+4a+b)\sqrt{3}<10^{-4}-(11+3a+b+c)$

پس

$3(15+4a+b)^2$

بین دو عدد

$(\pm 10^{-4}-(11+3a+b+c))^2$

قرار دارد،
پس

$3(15+4a+b)^2-(11+3a+b+c)^2$

بین دو عدد

$10^{-8}\mp 2\times 10^{-4}(11+3a+b+c)$

قرار دارد،

با یک نامساوی مثلث ساده ثابت می شود قدر مطلق این دو عدد از یک کمتر است، پس به ناچار

$3(15+4a+b)^2-(11+3a+b+c)^2=0$

. در نتیجه:

$\\ \\ \left ((15+4a+b)\sqrt{3}+ (11+3a+b+c) \right )\left ((15+4a+b)\sqrt{3}- (11+3a+b+c) \right )=0 \\ \Rightarrow (15+4a+b)\sqrt{3}\pm (11+3a+b+c)=0$

اگر در حالت + صفر باشد که حکم به دست آمده و اگر

$(15+4a+b)\sqrt{3}-(11+3a+b+c)=0$

:

$|(15+4a+b)\sqrt{3}+(11+3a+b+c)|=2|(11+3a+b+c)|<10^{-4}\\ \Rightarrow (15+4a+b)\sqrt{3}=11+3a+b+c=0\Rightarrow p(2+\sqrt{3})=0$

ریشه ی چند جمله ایه درجه 3

math

New Member

hkh74

New Member