ساختمان روشنایی (ریاضی)

aakkaakk

New Member
ارسال ها
13
لایک ها
0
امتیاز
0
#1
ساختمان روشنایی تعداد زیادی چراغ و کلید دارد. هر کلید به بعضی از چراغها متصل است و با زدن آن وضعیت همه ی آن چراغها تغییر می کند. می دانیم هر چراغ دست کم به یک کلید متصل است ، نشان دهید اگر در ابتدا همه چراغها خاموش باشند می توان با زدن بعضی از کلید ها به حالتی رسید که بیش از نیمی از چراغها روشن باشند.

لطفا جواب بدین
من روی مسائل استقرایی که عبارت ((بیش از نیم)) توشون میاد مشکل دارم، چون زوج و فرد می کنم و بعد نمی تونم همه حالاتو اثبات کنم.
 

Goharshady

New Member
ارسال ها
2,239
لایک ها
166
امتیاز
0
#2
کسی نظری نداره؟ آقای شریفی؟
 

Aref

New Member
ارسال ها
1,262
لایک ها
1,008
امتیاز
0
#4
خیلی ساده اصلا زوج و فرد هم نمیخواد پایه استقرا که واضحه فرض کن برای n درسته. حالا اگه n+1 کلید داشته باشیم i تاشو که بزنیم (از n تا) داریم نصف n تا روشنن(حداقل)
حالا کافیه یه بار دیگه این عملو با اونیکه بیرون گذاشته بودیم انجام بدیم. و حکم درسته اگر و تنها اگر لامپی باشه که فقط یه کلید روش اثر داشته باشه.اینجوری تونستم بگم ولی اگه بین لامپا و کلید ها تناظر یک به دو یا بیشتر داشته باشیم نتونستم بگم.
 

Goharshady

New Member
ارسال ها
2,239
لایک ها
166
امتیاز
0
#5
اولا که هیچ تفاوتی نداره که روی لامپها استقرا بزنیم یا روی کلیدها
ثانیا که بازهم اثبات نشد
چرا نصف n تا روشن اند؟ مگه کلید هم روشن می شه؟
لا اقل اونطوری برای سه چهارم حالات اثبات می شد ولی این یکی برای یه تعداد حالت خاصه
 

aakkaakk

New Member
ارسال ها
13
لایک ها
0
امتیاز
0
#6
من هنوز جوابی نگرفتم
خواهش می کنم یکی جواب کامل این سوالو بذاره.....
 

Goharshady

New Member
ارسال ها
2,239
لایک ها
166
امتیاز
0
#7
خیلی ساده تر از چیزی که شما فکر می کنین حل میشه:
به استقرای قوی روی تعداد کلیدها مسئله رو حل می کنیم.
فرض کنیم با n کلید و هر تعداد لامپ بشه به جواب رسید
حالا اگه n+1 کلید داشته باشیم ، کلید آخری رو به همراه همه لامپهایی که به اون وصل هستند کنار می ذاریم و بقیه لامپها رو
طبق فرض استقرا عمل می کنیم تا بیش از نصفشون روشن شه، حالا میایم سر وقت لامپهایی که به کلید آخریه وصلن، یکی از این حالات پیش میاد:
1-نیم یا بیش از نیمی از آنها روشن است (در این صورت به جواب رسیده ایم)
2- کمتر از نیمی از آنها روشن است ، در این صورت یک بار کلید آخر را می زنیم و به جواب می رسیم.
با تشکر از آقای پویا وحیدی برای این راه حل زیبا.
حالا خودتون توضیح بدین که چرا نمی شه با استقرای ضعیف حلش کرد.
 

Goharshady

New Member
ارسال ها
2,239
لایک ها
166
امتیاز
0
#9
ارسال ها
317
لایک ها
151
امتیاز
0
#10
پاسخ : ساختمان روشنایی (ریاضی)

این کارا لازم نیست درهر مرحله یک چراغ رو میزنیم اگه دیدیم که با زدن این چراغ تعداد چراغای روشن افزایش یافت یا فرقی نکرد که باز هم کار را ادامه میدهیم اگر کاهش یافت یه بار دیگر همین کلید رو میزنیم زمانی کلیدی حالت مطلوب الگوریتم را ندارد که بیش از نصف چراغ هاش روشن باشه اگه جایی نتونیم الگوریتمو جلو بریم همه ی کلید ها چراغ هاشون بیش از نصفش روشن باشه که حکم مسئله ارضا میشه واین اتگوریتم پایان پذیر است
 
بالا