سوالی از اعداد مختلط

threehandsnal · 1390/12/26

فرض کنید

$n$

عددی طبیعی باشد و

$z\in \mathbb{C}-\mathbb{R}$

باشد به گونه ای که

$z^n$

و

$(z+1)^n$

اعدادی حقیقی باشند. تمامی مقادیر

$z$

را بیابید.

POURIYA- F · 1390/12/26

پاسخ : سوالی از اعداد مختلط

فکر کنم همه ی اعداد به فرم

$z=ib$

به طوری که:

$n=2m : m\in \mathbb{N}$

,

$b\in \mathbb{R}-\left \{ 0 \right \}$

threehandsnal · 1390/12/26

پاسخ : سوالی از اعداد مختلط

POURIYA- F گفت

متاسفانه درست نیست!
مثال نقضش هم اینه:

$n=2,b=1$

که در این صورت

$(i+1)^2=-2i\notin \mathbb{R}$

است.

در ضمن حواستون باشه که

$n$

عدد از پیش تعیین شده است(منظورم اینه که متغیر نیست!). :4:

لطفا راه حلتون رو هم بذارین :3:

khayyam- · 1390/12/27

پاسخ : سوالی از اعداد مختلط

threehandsnal گفت

بنا به فرض

$z=ib$

و [SUB]

$b\neq 0$

[/SUB]. و خواهیم داشت:

$Arg(z)=\tan^{-1}\frac{b}{0}=\frac{\pi}{2}$

بنا بر فرمول دموار (De Moivre) داریم:

$z^{n}=\cos{n\theta}+i\sin{n\theta}$

پس اگر قرار باشد به ازای این n ثابت،

$z^{n}$

حقیقی باشد میبایست [SUB]

$\sin{n\theta}=0$

[/SUB] و در نتیجه n زوج خواهد بود.

بنابراین خواهیم داشت:

$z=\left | z \right |e^{i\theta}=be^{i\theta}\;\;,b\neq0\;\;,\theta=\frac{\pi}{2}$

threehandsnal · 1390/12/27

پاسخ : سوالی از اعداد مختلط

khayyam- گفت

ببخشیدا.ولی یه اشتباه کوچیک اول راهتون هست.از فرض این نتیجه رو میشه گرفت:

$z\in \mathbb{C}-\mathbb{R}\Rightarrow z=a+ib\: \: (b\neq 0)$

ولی نتیجه اولیه شما اشتباهه:3:

threehandsnal · 1390/12/28

پاسخ : سوالی از اعداد مختلط

اونقدرا هم سخت نبودا سوالش :3:
چون چند روز دیگه عیده و این سایت به فراموشی سپرده میشه جوابشو میذارم که استفاده کنین:4:
این لینک جوابه(جوابش یخورده تر و تمیز تر از من بود:4: واسه همین لینک میدم)

AoPS Forum - A Question Of Complex Numbers • Art of Problem Solving

سوالی از اعداد مختلط

threehandsnal

New Member

POURIYA- F

New Member

threehandsnal

New Member

khayyam-

New Member

threehandsnal

New Member

threehandsnal

New Member