سوال جبر

danialm · 1388/12/5

اگر xوyاعداد حقیقی ومثبت باشند ,

$(1+x)(1+y)=2$

باشد نشان دهید:

$xy+\frac{1}{xy}\geq 6$

farid_frd · 1388/12/5

طبق میانگین حسابی هندسی داریم :

$\frac{(1+x)^{2}+(1+y)^{2}}{2}\geq (1+x)(1+y)=2$

یا به عبارتی :

$x^{2}+y^{2}+2(x+y)\geq 2$

از طرفی طبق فرض میدانیم :

$2(x+y)=2-2xy$

پس :

$x^{2}+y^{2}-2xy\geq 0$

طبق فرض میدانیم :

$x^{2}+y^{2}+2xy=1+x^{2}y^{2}-2xy$

پس :

$x^{2}+y^{2}-2xy=1+x^{2}y^{2}-6xy$

در نتیجه :

$1+x^{2}y^{2}\geq 6xy$

پس :

$\frac{1+x^{2}y^{2}}{xy}\geq 6$

یا به عبارتی :

$xy+\frac{1}{xy}\geq 6$