سوال جبر

danialm · 1388/12/7

اگر a,b,cاعداد مثبت وحقیقی باشندو

$abc=1$

باشد ثابت کنید:

$\frac{1}{a^3(b+c)}+\frac{1}{b^3(c+a)}+\frac{1}{c^3(a+b)}\geq \frac{3}{2}$

farid_frd · 1388/12/7

طبق کوشی شوارتز :

$(\frac{1}{a^{3}(b+c)}+\frac{1}{b^{3}(a+c)}+\frac{1}{c^{3}(b+a)})a(b+c)+b(a+c)+c(a+b)\geq(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})^{2}$

پس:

$\frac{1}{a^{3}(b+c)}+\frac{1}{b^{3}(a+c)}+\frac{1}{c^{3}(b+a)}\geq \frac{ab+ac+bc}{2}\geq \frac{3\sqrt[3]{1}}{2}=\frac{3}{2}$

farid_frd · 1388/12/7

ببخشید تو خط دوم

$a(b+c)+b(a+c)+c(a+c)$

توی پرانتز هست

M_Sharifi · 1388/12/8

با تغییر متغیر

$a=\frac{1}{x},\quad b=\frac{1}{y},\quad c=\frac{1}{z}$

، که

$xyz=1$

، نابرابری مسئله، به نابرابری

[center:dd1860ba08]

$\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\geq\frac32$

[/center:dd1860ba08]
تبدیل میشه که به راحتی قابل اثباته.

Gaara · 1389/1/15

اگر

$a=\frac{x}{y}$

و

$b=\frac{y}{z}$

و

$c=\frac{z}{x}$

را در نظر بگیریم و تغییر متغیر دهیم آن وقت به نامساوی

$(x+z-y)(x+y-z)(z+y-x)\leq xyz$

میرسیم که دوباره

$x=n+m$

و

$y=n+o$

و

$z=m+o$

را در نظر گرفته و جایگذاری میکنیم بعد به نامساوی

$8mno\leq (m+n)(m+o)(n+o)$

میرسیم که این هم بدیهی است.