سوال جبر

rezoos · 1388/12/7

اگر

باشد، ثابت کنید:

M_Sharifi · 1388/12/13

طبق کوشی شوارتز،
[center:7b5986a88e]

$\Big(\sum\frac{x^2}{\sqrt{2x^2(y+z)}}\Big)\Big(\sum\sqrt{2(y+z)}\Big)\geq \Big(\sum\sqrt x\Big)^2=1$

و نیز

[/center:7b5986a88e][center:7b5986a88e]

$\Big(\sum\frac{yz}{\sqrt{2x^2(y+z)}}\Big)\Big(\sum\sqrt{2(y+z)}\Big)\geq \Big(\sum\sqrt{\frac{yz}x}\Big)^2$

بنابراین کافی است ثابت کنیم

$1+\Big(\sum\sqrt{\frac{yz}x}\Big)^2\geq\sum\sqrt{2(y+z)}$

برای اثبات این نابرابری نیز از نابرابری های

$\Big(\sum\sqrt{\frac{yz}x}\Big)^2\geq3(x+y+z)$

و

$\sum\frac{2+y+z}2\geq\sum{\sqrt{2(y+z)}}$

و

$x+y+z\geq3$

استفاده کنید.

[/center:7b5986a88e]