سوال حد !!!

zz_torna2 · 1391/4/21

سوال حد مردافکن!!!!!!!(خودم طرحش کردم)

$if:x\neq 1 , a< 1\Rightarrow \lim_{x\rightarrow 0^{+}}\left \lfloor (1+x)^{a-1} -\frac{1-x^{a}}{1-x}\right \rfloor=?$

threehandsnal · 1391/4/21

پاسخ : سوال حد !!!

zz_torna2 گفت

بسیار زیبا :4:
*اول سوالو برای حالت

$0<a<1$

حل میکنم:

$\lim_{x\to 0^+}(1+x)^{a-1}=\lim_{x\to 0^+}((1+x)^{\frac{1}{x}})^{x(a-1)}=\lim_{x\to 0^+}e^{x(a-1)}$

$\lim_{x\to 0^+}\frac{1-x^a}{1-x}=\lim_{x\to 0^+}\frac{((1-x^a)^{x^{-a}})^{x^a}}{((1-x)^{x^{-1}})^x}=\lim_{x\to 0^+}\frac{e^{-x^a}}{e^{-x}}=\lim_{x\to 0^+}e^{x-x^a}$

پس با جاگذاری واضحه که

$\lim_{x\to 0^+}((1+x)^{a-1}-\frac{1-x^a}{1-x})=0$

پس فقط باید ببینیم وقتی از سمت راست میایم به سمت 0 این تابع مثبته یا منفی!

$x\to 0^+:e^{x(a-1)}-e^{x-x^a}>0\Leftrightarrow a-1>1-x^{a-1}\Leftrightarrow \infty =\left (\frac{1}{x} \right )^{{\overset{>0}{\overbrace{1-a}}}}=x^{a-1}>2-a\rightarrow \text{Obvious! }$

$\implies \lim_{x\to 0^+}\left \lfloor (1+x)^{a-1}-\frac{1-x^a}{1-x} \right \rfloor=\boxed{0}$

**حالا حالت

$a<0$

رو بررسی می کنیم (حالت a=0 بدیهیه که میشه صفر[البته بطور کاملا مشابه با راه بالا! ]) :

$\lim_{x\to 0^+}\left ((1+x)^{a-1}-\frac{1-x^a}{1-x} \right )=(1+\epsilon )^{\text{Negative}}-\frac{1-\epsilon^{\text{Negative}} }{1-\epsilon }=1-\frac{1-\left ( \frac{1}{\epsilon } \right )^{\text{Positive}}}{1}=1-(1-\infty )=\infty$

$\implies \lim_{x\to 0^+}\left \lfloor (1+x)^{a-1}-\frac{1-x^a}{1-x} \right \rfloor=\left \lfloor \infty \right \rfloor=\boxed{+\infty }$

پس در کل میشه نوشت:

$\boxed{ \lim_{x\to 0^+}\left \lfloor (1+x)^{a-1}-\frac{1-x^a}{1-x} \right \rfloor=\left\{\begin{matrix} 0\:\:\:\:\:\:\:\:;1> a\geq 0\\ +\infty \:\:\:\:\:\:\:\:\:;a<0 \end{matrix}\right.}$

zz_torna2 · 1391/4/24

پاسخ : سوال حد !!!

من فکر کنم برای a=0 حاصل حد 1 بشه ؟! :4:

سوال نامساوی ولی مرتبط.

ثابت کنید:

$if x > 0,x\neq 1,a< 1\Rightarrow \frac{1-x^{a}}{1-x}< (1+x)^{a-1}$

threehandsnal · 1391/4/24

پاسخ : سوال حد !!!

zz_torna2 گفت

برای a=0 داریم:

$\lim_{x\to 0^+}\left \lfloor (1+x)^{-1}-0 \right \rfloor=\lim_{x\to 0^+}\left \lfloor 1-x\right \rfloor=0$

سوال حد !!!

zz_torna2

New Member

threehandsnal

New Member

zz_torna2

New Member

threehandsnal

New Member