سوال متوسط جبر. مرحله 2

eghbal · 1394/2/11

$1/a^4 + 1/b^4 + 1/c^4 + 1/d^4=1$

و میدانیم:

$a,b,c,d > 0$

ثابت کنید:

a*b*c*d>=3

این سوال رو من از یه راهی حل کردم.
میخوام راه های شما رو هم بدونم.

مرسی.

Dadgarnia · 1394/2/11

پاسخ : سوال متوسط جبر. مرحله 2

eghbal گفت

اگه حکم سوال

$abcd\geq 4$

باشه فقط یه حسابی هندسی ساده است:

$1=\sum_{cyc}\frac{1}{a^4} \geq \frac{4}{abcd}\Rightarrow abcd\geq 4$

eghbal · 1394/2/11

پاسخ : سوال متوسط جبر. مرحله 2

خب الان حل نشد که!

jan123 · 1394/2/11

پاسخ : سوال متوسط جبر. مرحله 2

چرا دوست من حل شد شاید از اون علائم سر در نیارین درحد اول دبیرستان اینطور بگم که:
طبق نا برابر حسابی هندسی داریم:

$\frac{x+y+z+m}{4}\geq \sqrt[4]{xyzm}$

با جایگذاری

$x=\frac{1}{a^4},y=\frac{1}{b^4},z=\frac{1}{c^4},m=\frac{1}{d^4}$

داریم:

$\frac{\frac{1}{a^4}+\frac{1}{b^4}+\frac{1}{c^4}+\frac{1}{d^4}}{4}\geq \sqrt[4]{\frac{1}{a^4b^4c^4d^4}}$

با توجه به اینکه:

$1/a^4 + 1/b^4 + 1/c^4 + 1/d^4=1$

:

$\frac{1}{4}\geq \frac{1}{abcd}\rightarrow abcd\geq 4> 3$

eghbal · 1394/2/11

پاسخ : سوال متوسط جبر. مرحله 2

نه ببخشید من سوال رو اشتباه گویا تایپ کردم.
اون راه حل رو فهمیدم.
ببخشید سوال رو اشتباه تایپ کردم.
برای همین گفتم حل نشد.

$1/a^4+1$

این در مخرج هاست.
نمیخواد خودتون رو در نوشتن جواب به زحمت بندازید من به اون علامت ها آشنام اگر همون طوری هم بنویسید متوجه میشود.
باز هم شرمنده از آقای دادگرنیا و شما.

jan123 · 1394/2/11

پاسخ : سوال متوسط جبر. مرحله 2

باز هم درست متوجه نمیشم (از علامت کسر به جای تقسیم و از پرانتز استفاده کنین بهتر متوجه میشم)

Dadgarnia · 1394/2/11

پاسخ : سوال متوسط جبر. مرحله 2

eghbal گفت

دو طرف حكم رو به توان چهار مي رسونيم يعني بايد ثابت كنيم:

$a^4b^4c^4d^4\geq 3^4$

حالا تغيير متغير

$a^4=\frac{1-x}{x},b^4=\frac{1-y}{y},c^4=\frac{1-z}{z},d^4=\frac{1-w}{w}$

رو انجام ميديم. شرط سوال به

$x+y+z+w=1$

تبديل ميشه و بايد ثابت كنيم:

$\prod (1-x)\geq 81xyzw\Leftrightarrow \prod (x+y+z)\geq 81xyzw$

با استفاده از حسابي هندسي داريم:

$x+y+z\geq 3\sqrt[3]{xyz}$

اگه براي مقادير ديگه هم اين نامساوي رو بنويسيم و در هم ضرب كنيم حكم بدست مياد.

eghbal · 1394/2/11

پاسخ : سوال متوسط جبر. مرحله 2

میگم آقای دادگر نیا اگر از معلم های دوره نوروزی طلایی ها کسی چیزی به شما ایمیل کرده (غیر از سوالات جبر آقای شریفی) به بنده هم بدهید .
ایمیل رو چندین نفر یاد داشت کردند اما فقط آقای شریقی سوال برای بنده فرستاده اند.

---- دو نوشته به هم متصل شده است ----

میگم من بدون تغییر متغیر حل کردم اما راه شما زیبا تر بود.
اما توی این جور سوالات همیشه تغییر متغیر چیز خوبی نیست.
یه چیزی میگم تغییر متغیر مگه فقط ساده کردن مسئله برای دیدن بهتر نیست!؟
خب بدون تغییر متغیر هم پس میشه حل کرد.
من هم یه چیزی تو همون مایه ها رفتم بدون تغییر متغیر همه رو تو هم ضرب کردم اون طرف یه 3 میمونه بقیه 1 جمله رو نامسوای حسابی _ هندسی زدم در اومد.
اما راه شما زیبا تر بود!.
بســـی لذت بردیم!

Dadgarnia · 1394/2/12

پاسخ : سوال متوسط جبر. مرحله 2

eghbal گفت

تغییر متغیر جاهای دیگه هم به درد می خوره یعنی من اینجا به خاطر ساده کردن مسئله تغییر متغیر انجام ندادم به خاطر اینکه راحت تر بتونم حکمو همگن کنم این کارو انجام دادم. مثلا وقتی که شرط

$abc=1$

وجود داره تغییر متغیر

$a=\frac{x}{y},b=\frac{y}{z},c=\frac{z}{x}$

اکثر اوقات باعث پیچیده تر شدن حکم میشه ولی چون نامساوی همگن میشه کار باهاش خیلی راحت تره.

سوال متوسط جبر. مرحله 2

eghbal

Member

Dadgarnia

New Member

eghbal

Member

jan123

New Member

eghbal

Member

jan123

New Member

Dadgarnia

New Member

eghbal

Member

Dadgarnia

New Member